Question

Calcule Z⁴ dos seguintes complexos:

A) z= 1-√3i

B) z= 2+2i

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá @gmourao96!

♦️ O tema em abordagem é referente aos números complexos!

Onde é necessário achar uma potência de um número complexo!

Para tal iremos recorrer a fórmula de Moivre!

⇒Segundo a fórmula de Moivre:

$\large{\pink{\boxed{\sf{Z^n~=~|Z|^n[cos (n\sf{θ})~+~isen(n\sf{θ})]}}}}$

♣ Então, para obtermos a potência é notório que devemos transformar os nossos números complexos da alínea a) e b) que se encontram na forma algébrica para a forma trigonométrica.

♣ Comecemos com a alínea b) (mais simples) :D!

$\iff\sf{ Z~=~2+2i}$

$\red{\sf{ |Z|~=~\sqrt{a^2+b^2}}}$

$\sf{ |Z|~=~\sqrt{2^2+2^2}}$

$\sf{ |Z|~=~\sqrt{8}}$

$\purple{\sf{ |Z|~=~2\sqrt{2}}}$

$\red{\iff\sf{ \theta~=arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)}}$

$\iff\sf{ θ~=arctan \left(\dfrac{2}{2}\right)}$

$\iff\sf{ θ~=arctan(1)}$

$\purple{\iff\sf{ θ~=\dfrac{π}{4}}}$

b) Na fórmula trigonométrica, ficamos com:

$\red{\sf{Z~=~|Z|[(cos(θ)+isen(θ)]}}$

$\sf{Z~=~2\sqrt{2}\left[cos\left(\dfrac{π}{4}\right)+isen \left(\dfrac{π}{4}\right)\right]}$

⇒Achando a potência:

$\red{\boxed{\sf{Z^n~=~|Z|^n(cos (nθ)~+~isen(nθ))}}}$

$\sf{Z^4~=~(2\sqrt{2})^4\left[cos \left(4\cdot\dfrac{π}{4}\right)~+~isen\left(4\cdot\dfrac{π}{4}\right)\right]}$

$\sf{Z^4~=~(2\sqrt{2})^4\left[cos \left(\cancel{4}\cdot\dfrac{π}{\cancel{4}}\right)~+~isen\left(\cancel{4}\cdot\dfrac{π}{\cancel{4}}\right)\right]}$

$\sf{Z^4~=~(2\sqrt{2})^4[cos (π)~+~isen(π)]}$

$\sf{Z^4~=~64[cos (π)~+~isen(π)]}$

$\sf{Z^4~=~64 [(-1)~+~(0)]}$

$\pink{\sf{Z^4~=~-64 ~\longleftarrow~Resposta}}$

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♣ Para alínea a).

$\iff\sf{ Z~=~1-\sqrt{3}i}$

$\red{\sf{ |Z|~=~\sqrt{a^2+b^2}}}$

$\sf{ |Z|~=~\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}}$

$\sf{ |Z|~=~\sqrt{4}}$

$\purple{\sf{ |Z|~=~2}}$

$\red{\iff\sf{ \theta~=arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)}}$

$\iff\sf{ θ~=arctan \left(\dfrac{-\sqrt{3}}{1}\right)}$

$\iff\sf{ θ~=arctan(-\sqrt{3})}$

$\purple{\iff\sf{ θ~=-\dfrac{π}{3}}}$

b) Na fórmula trigonométrica, ficamos com:

$\red{\sf{Z~=~|Z|[(cos(θ)+isen(θ)]}}$

$\sf{Z~=~2\left[cos\left(-\dfrac{π}{3}\right)+isen \left(-\dfrac{π}{3}\right)\right]}$

⇒Achando a potência:

$\red{\boxed{\sf{Z^n~=~|Z|^n(cos (nθ)~+~isen(nθ))}}}$

$\sf{Z^4~=~2^4\left[cos \left(4\cdot \left(-\dfrac{π}{3}\right)\right)~+~isen \left(4\cdot \left(-\dfrac{π}{3}\right)\right)\right]}$

$\sf{Z^4~=~16 \left[\left(-\dfrac{1}{2}\right)~+~i\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right]}$

$\pink{\sf{Z^4~=~-8+8\sqrt{3}i ~\longleftarrow~Resposta}}$

• Qualquer dificuldade deixa nos comentários!

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⇒Espero ter ajudado bastante! :)

⇒ Att: Jovial Massingue (◕ᴗ◕)

::::: 14/10/2021