Question

Calcule z² e z³ para z = a + bi

Answer 1

Seja $z$ um número complexo dado na forma

$z=a+bi$


com $a$ e $b$ reais.

e $i=\sqrt{-1}$ é a unidade imaginária.


Então, temos que

$\bullet\;\;z^{2}=(a+bi)^{2}\\ \\ z^{2}=a^{2}+2ab\,i+(bi)^{2}\\ \\ z^{2}=a^{2}+2ab\,i+b^{2}\cdot i^{2}\\ \\ z^{2}=a^{2}+2ab\,i+b^{2}\cdot (-1)\\ \\ z^{2}=\left(a^{2}-b^{2} \right )+\left(2ab \right )i$


$\bullet\;\;z^{3}=z^{2}\cdot z\\ \\ z^{3}=\left[\left(a^{2}-b^{2} \right )+\left(2ab \right )i \right ]\cdot (a+bi)\\ \\ z^{3}=(a^{2}-b^{2})\,a+(a^{2}-b^{2})\,bi+(2ab)\,ai+(2ab)\,bi^{2}\\ \\ z^{3}=\left[(a^{2}-b^{2})\,a+(2ab)\,bi^{2} \right ]+\left[(a^{2}-b^{2})\,b+(2ab)\,a \right ]i\\ \\ z^{3}=\left[a^{3}-ab^{2}+2ab^{2}\cdot (-1) \right ]+\left[a^{2}b-b^{3}+2a^{2}b \right ]i\\ \\ z^{3}=\left(a^{3}-3ab^{2} \right )+\left(3a^{2}b-b^{3} \right )i$