Question

Calcule
(y + z) dS, onde S e a superfcie cujo lado e o cilindro x^2 +y^2 = 3,
cuja parte inferior e o disco x^2 +y^2 <= 3 no plano xy e cuja parte superior e o plano
z = 4 - y.

gab: pi(29raiz de 3 + 24raiz de 2)/2

Answer 1

A integral de superfície é dado por:


∫∫  (y+z).ds
σ

Onde,

$dS = \sqrt{ (\frac{dz}{dx})^2+ (\frac{dz}{dx})^2 +1 } .dA$

Como,

z = 4-y

dz/dx = 0

dz/dy = -1
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Logo:


$\\ dS = \sqrt{0^2+(-1)^2+1} .dA \\ \\ dS = \sqrt{2} .dA$
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Então:

Nossa integral fica:


∫∫ (y+z).√2 .dA
R

Fazendo mudança de coordenadas para polares:

y = rSenα

x = rCosα

z = 4 - y  ⇔  4 - rSenα
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Com:

$\\ 0 \leq r \leq \sqrt{3} \\ \\ 0 \leq \alpha \leq 2 \pi$

Obs:

O raio vale √3, devido ?

x² + y² = r² 

x² + y² = 3 ⇔  x²+y² = (√3)²
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Logo:


$\\ \sqrt{2} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^ \frac{ \sqrt{3} }{} _0 {(rSen \alpha +4-rSen \alpha )} \, rdrd \alpha \\ \\ = \sqrt{2} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^ \frac{ \sqrt{3} }{} _0 { 4} \, rdrd \alpha$


$\\ = \sqrt{2} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, 2r^2|(0, \sqrt{3} )d \alpha \\ \\ = \sqrt{2} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, 6d \alpha \\ \\ = \sqrt{2} .6 \alpha |(0,2 \pi ) \\ \\ = 12 \pi \sqrt{2}$

Reveja se foi escrito corretamento a sua questão, ou se esse gabarito é de outra questão.