Question

Calcule y' onde xy²-2xy+3y=0

Answer 1

Derivada implicita, assumindo que y é uma função de x, então $y=y(x)$, derivando termo a termo, temos

$\dfrac{d(xy^2)}{dx}-2\dfrac{d(xy)}{dx}+3\dfrac{dy}{dx}=0$ utilizando a regra do produto

$\dfrac{dx}{dx}y^2+x\dfrac{d(y^2)}{dx}-2\left(\dfrac{dx}{dx}y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+3\dfrac{dy}{dx}=0$

Como y é uma função de x, temos que usar a regra da cadeia em $\dfrac{d(y^2)}{dx}$, assim

$1\cdot y^2+x\cdot2y\dfrac{dy}{dx}-2\left(1\cdot y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+3\dfrac{dy}{dx}=0\\\\y^2+2xy\dfrac{dy}{dx}-2y-2x\dfrac{dy}{dx}+3\dfrac{dy}{dx}=0\\\\2xy\dfrac{dy}{dx}-2x\dfrac{dy}{dx}+3\dfrac{dy}{dx}=2y-y^2$colocando $\dfrac{dy}{dx}$ em evidencia

$\dfrac{dy}{dx}(2xy-2x+3)=2y-y^2\\\\\boxed{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y-y^2}{2xy-2x+3}}$

Se quiser utilizar a notação y' basta fazer $\dfrac{dy}{dx}=y'$ em todos os passos, utilizei essa notação pois ela destaca em relação ao que estamos derivando, e para derivadas implicitas ela funciona muito bem