Question

calcule ∭xz*dxdydz, onde w é o sólido no 1º octante limitado pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 9 e pelos planos x = 0 , y = 0 e z = 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{81}{5}~u.~v}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este problema, utilizaremos coordenadas esféricas.

Seja a integral tripla:

$\displaystyle{\iiint_{\mathsf{W}} xz\,dx\,dy\,dz$, em que $\mathsf{W}$ é o sólido no 1º octante limitado pela esfera $x^2+y^2+z^2=9$ e pelos planos $x=0,~y=0$ e $z=0$.

Então, realizamos uma mudança de variáveis para coordenadas esféricas:

$\begin{cases}x=\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\\ y=\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\\z=\rho\cos(\varphi)\\\end{cases}$

Então, calculamos o determinante Jacobiano da transformação:

$J=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial \rho}&\dfrac{\partial x}{\partial \varphi}&\dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\\\ \dfrac{\partial y}{\partial \rho}&\dfrac{\partial y}{\partial \varphi}&\dfrac{\partial y}{\partial \theta}\\\\ \dfrac{\partial z}{\partial \rho}&\dfrac{\partial z}{\partial \varphi}&\dfrac{\partial z}{\partial \theta}\\\end{vmatrix}$

Calculando as derivadas parciais, temos

$J=\begin{vmatrix}\sin(\varphi)\cos(\theta)&\rho\cos(\varphi)\cos(\theta)&-\rho\sin(\varphi)\sin(\theta)\\\sin(\varphi)\sin(\theta)&\rho\cos(\varphi)\sin(\theta)&\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\\ \cos(\varphi)&-\rho\sin(\varphi)&0\\\end{vmatrix}$

Calculando este determinante, temos

$J=\rho^2\sin(\varphi)$

Visto que os limites de integração foram limitados pela esfera de equação descrita acima e os planos, no 1° octante, definimos os intervalos:

$\varphi\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$ e $\theta\in\left[0,~\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Para definirmos o intervalo de integração para a variável $\rho$, substituímos as expressões em $x,~y$ e $z$ na equação da esfera:

$(\rho\sin(\varphi)\cos(\theta))^2+(\rho\sin(\varphi)\sin(\theta))^2+(\rho\cos(\varphi))^2=9$

Calcule as potências

$\rho^2\sin^2(\varphi)\cos^2(\theta)+\rho^2\sin^2(\varphi)\sin^2(\theta)+\rho^2\cos^2(\varphi)=9$

Some os valores, sabendo que $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

$\rho^2=9$

Retire a raiz em ambos os lados da equação

$\rho=\pm~3$

Dados os limites pelo enunciado, definimos que $\rho\in[0,~3]$.

Nossa integral tripla se torna:

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^3\rho\sin(\varphi)\cos(\theta)\cdot\rho\cos(\varphi)\cdot\rho^2\sin(\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

Multiplique os termos

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^3\rho^4\sin^2(\varphi)\cos(\theta)\cos(\varphi)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta$

Calcule a primeira integral, em respeito à variável $\rho$

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\varphi)\cos(\theta)\cos(\varphi)\int_0^3\rho^4\,d\rho\,d\varphi\,d\theta}\\\\\\\ \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\varphi)\cos(\theta)\cos(\varphi)\cdot\dfrac{\rho^5}{5}~\biggr|_0^3\,d\varphi\,d\theta}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\varphi)\cos(\theta)\cos(\varphi)\cdot\dfrac{243}{5}\,d\varphi\,d\theta}$

Calcule a segunda integral, em respeito à variável $\varphi$

$\displaystyle{\dfrac{243}{5}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2(\varphi)\cos(\varphi)\,d\varphi\,d\theta}\\\\\\\\ \displaystyle{\dfrac{243}{5}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\cdot\dfrac{\sin^3(\varphi)}{3}~\biggr|_0^{\frac{\pi}{2}}\,d\theta}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\dfrac{243}{5}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\cdot\dfrac{1}{3}\,d\theta}$

Multiplique os termos

$\displaystyle{\dfrac{81}{5}\cdot\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(\theta)\,d\theta}$

Calcule a integral, em respeito á variável $\theta$

$\displaystyle{\dfrac{81}{5}\cdot\sin(\theta)~\biggr|_0^{\frac{\pi}{2}}$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{81}{5}\cdot1$

Multiplique os valores

$\dfrac{81}{5}$

Este é resultado que buscávamos.