Question

Calcule x, y, z e t no triângulo retângulo da imagem abaixo.

Answer 1

Olá, boa noite ◉‿◉.

Assunto: Relações métricas no triângulo retângulo.

As relações métricas são equações que relacionam as medidas dos lados e de alguns outros segmentos de um triângulo retângulo. Para definir essas relações, é importante conhecer esses segmentos.

•A letra a é a medida da hipotenusa;

•As letras b e c são as medidas dos catetos;

•A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo;

•A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa;

•A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.

Temos 5 relações métricas, listarei todas e farei uma breve explicação sobre cada uma.

I) Primeira relação:

•Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ele é válido para todos os triângulos retângulos.

$\large\boxed{ \begin{cases}a {}^{2} = b {}^{2} - c {}^{2} \end{cases}}$

II) Segunda relação:

•A hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa.

$\large \boxed{ \begin{cases} a = m + n\end{cases}}$

III) Terceira relação:

•O quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual ao produto das projeções de seus catetos.

$\boxed{\begin{cases} \large h {}^{2} = m.n\end{cases}}$

IV) Quarta relação:

• É usada para descobrir a medida de um cateto quando as medidas de sua projeção sobre a hipotenusa e a própria hipotenusa são conhecidas

$\large \boxed{\begin{cases} c {}^{2} = a.m \\ b {}^{2} = a.n \end{cases}}$

V) Quinta relação:

•O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.

$\large \boxed{ \begin{cases} a.h = b.c\end{cases}}$

• Cálculos:

Sabendo todas as relações e seu significado, então vamos começar os cálculos.

A questão nos fornece o valor da Hipotenusa (a = 17) e a medida do cateto "c" (c = 15). Com esses dados podemos usar a primeira relação e descobrir o outro cateto "b" que está representado por "x" na questão.

$a {}^{2} = b {}^{2} + c {}^{2} \\ 17 {}^{2} = b {}^{2} + 15 {}^{2} \\ 289 = b {}^{2} + 225 \\ 289 - 225 = b {}^{2} \\ b {}^{2} = 64 \\ b = \sqrt{64} \\ \Large\boxed{\boxed{b = 8 \: \: \: ou \: \: \: x = 8}}$

Sabendo do valor do cateto "b", abre um leque de possibilidades de cálculos.

Podemos usar a medida da Hipotenusa e dos dois Catetos para achar a altura (h) que está representada pela letra "y".

$a.h = b.c \\ 17.h = 8.15 \\ 17h = 120 \\ \Large\boxed{\boxed{h = \frac{120}{17} \: \: ou \: \: y = \frac{120}{17}}}$

Agora vamos usar a quarta relação para achar o valor de m e n, que estão representados por t e z.

$c {}^{2} = a.m \\ 15 {}^{2} = 17.m \\ 225 = 17m \\ \Large\boxed{\boxed{m = \frac{225}{17} \: \: ou \: \: t = \frac{225}{17} }} \\ \\ \\ b {}^{2} = a .n \\ 8 {}^{2} = 17.n \\ 64 = 17n \\ \Large\boxed{\boxed{n = \frac{64}{17} \: \: ou \: \: z = \frac{64}{17}} }$

Chegamos ao fim (◕ᴗ◕✿).

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️