Question

Calcule x para que f(x) = 0, de acordo com o gráfico f(x) abaixo: *

Answer 1

Equação da reta.

Podemos fazer de duas formas

1ª forma

Sendo os pontos $P(x_1,y_1) \ e \ P'(x_2,y_2)$, podemos achar a equação da reta a partir do determinante da matriz dos pontos, da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x&y&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\end{array}\right] =0 }$

gerando a equação da reta :

$\fbox{\displaystyle ax+by + c = 0 }$

sendo a equação reduzida do tipo :

$\fbox{\displaystyle y = \frac{-ax}{b} - \frac{c}{b } }$

( só isolar o y)

2ª forma

Sendo os pontos:

$P(x_1,y_1) \ e \ P'(x_2,y_2)$

e a equação reduzida do tipo :

$\fbox{\displaystyle y = ax + b }$

Podemos substituir os pontos e resolver o sistema gerado, da seguinte forma :

$\fbox{\displaystyle \left \{ {{ P(x_1,y_1). \to y_1 = ax_1 + b } \atop {P'(x_2,y_2) \to y_2 = ax_2+b }} \right. }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

Temos os seguintes pontos

$P_1(2,2) \ e \ P_2(4,5)$

Vamos resolver da 2ª forma, usando sistema.

sendo a equação reduzida da reta do tipo  $\fbox{\displaystyle y = ax+ b }$, lembrando que $\fbox{\displaystyle y = f(x) }$ (é a mesma coisa). Vamos substituir os pontos e achar as respectivas incógnitas :

$\fbox{\displaystyle P_1(2,2) \to 2 = a.2 + b }$

$\fbox{\displaystyle P_2(4,5) \to 5 = a.4 + b }$

vamos resolver o seguinte sistema :

$\fbox{\displaystyle \left \{ {{2=2.a + b } \atop {5=4a + b }} \right. }$

Subtraindo a 1ª da 2ª equação

$\fbox{\displaystyle 5-2 = (4.a - 2.a) + (b - b) \to 3 = 2.a \to a = \frac{3}{2} }$

Agora vamos substituir $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ na 1ª equação e achar o b.

$\fbox{\displaystyle 2 = 2.a + b \to 2 = \frac{2.3}{2} + b \to 2 = 3 + b \to b = -1 }$

Então a equação reduzida da reta é igual a  ;

$\fbox{\displaystyle y = \frac{3x}{2} - 1 }$

A questão pede o valor de x para que f(x) = 0, ou seja :

$\fbox{\displaystyle \frac{3x}{2} - 1 = 0 }$

isolando x

$\fbox{\displaystyle \frac{3x}{2} - 1 = 0 \to \frac{3x}{2} = 1 \to x = \frac{2}{3} }$