Question

calcule x: log(5x+10) = log (2x+19)

Answer 1

$log(5x+10) = log (2x+19)$

Como os logs tem a mesma base (base 10), podemos cortar os logs.

$5x + 10 = 2x + 19$

Passar tudo que é x do lado esquerdo e tudo que é número do lado direito do sinal de igual. Lembrar sempre de trocar o sinal ao mudar de lado (se era positivo, vira negativo e se era negativo, vira positivo).

$5x - 2x = 19 - 10$

Subtrair tudo.

$3x = 9$

Passar o 3 dividindo

$x = \frac{9}{3}$

Dividir.

$\boxed{ \textsf{x = 3}}$

Temos que ver, agora, se nossa solução existe, ou seja, se o logaritmo existe com esse valor de x. Temos que ver a condição de existência do logaritmo.

Condição de existência do logaritmo

Temos que ter o seguinte para que o nosso logaritmo exista:

1. base>0
2. base≠1
3. logaritmando>0

Nós já temos uma base maior que zero e diferente de 1 (a base é 10, lembra?), logo, temos apenas que ver o valor que os logaritmandos devem assumir para que isso exista.

1º logaritmando

O logaritmo da direita.

$5x + 10 > 0$

Passar tudo que é x do lado esquerdo e tudo que é número do lado direito do sinal de igual.

$5x > -10$

Passar o 5 dividindo.

$x > \frac{-10}{5}$

Dividir.

$\boxed{x > -2}}$

2º logaritmando

O logaritmo da esquerda.

$2x + 19 > 0$

Passar tudo que é x do lado esquerdo e tudo que é número do lado direito do sinal de igual.

$2x > -19$

Passar o 5 dividindo.

$x > \frac{-19}{2}$

Isso dá, então, um valor equivalente a -9,5.

Verificando a solução encontrada

A solução que encontramos para a equação, 3, é maior que -2 e também é maior que -9,5, assim, com a solução que encontramos os logaritmos existem.

S = {3}