Question

Calcule X e y, sabendo que a sucessão ( X, y, 9 ) é uma P.A crescente e a sucessão ( X, y 12 ) é uma P.G crescente.

Answer 1

Oi Isaaaaa.

Pergunta: Determinar X e y para que (X,y,9) seja uma P.A crescente e (X,y,12) seja um P.G crescente.

1º passo) PA(X,y,9) , Sabemos que a razão de uma P.A é a diferença de um termo com o anterior, portanto, de acordo com isso, obtemos a seguinte relação:

r = y - X  e  r = 9 - y, portanto:  y - X = 9 - y ==> 2y -9 = X ==> X = 2y - 9 #

2º passo)P.G(X,y,12) , Sabe-se q a razão de uma P.G é a divisão de um termo com o termo anterior, portanto seguindo a mesma lógica da P.A temos que:

$r = \frac{y}{X} \ \textless \ -\ \textgreater \ r = \frac{12}{y} --\ \textgreater \ \frac{y}{X} = \frac{12}{y} ==\ \textgreater \ y^{2} = 12X$

y² = 12X #

3º passo) Substituindo o "X = 2y - 9" achado no 1º passo na equação "y² = 12X" achada logo acima, temos que:

y² = 12X --> y² = 12(2y - 9) --> y² = 24y - 108 ==> y² -24y + 108 = 0 

Resolvendo essa equação do 2º grau, achamos duas raízes:

y1 = 18 e y2 = 6

4º passo) Retomando a relação achada no 2º passo "y² = 12X", achamos dois pares ordenados : 

a) 1º Par --> (y1)² = 12X --> (18)² = 12X --> 324 = 12X ==> X = 27 #

Portanto: 1º Par(X = 27 e y = 18)

b) 2º Par --> (y2)² = 12X --> (6)² = 12X --> 36 = 12X ==> X = 3 #

Logo : 2º Par(X = 3 e y = 6)

5º passo) Necessita-se testar os dois pares acima para sabermos se X e y tornam a sequência (X,y,9) em uma P.A crescente e (X,y,12) em uma P.G crescente.

1º Par(X = 27 e y = 18) 
P.A (27,18,9) --> P.A decrescente ----------------> P.A não valida!
P.G (27,18,12) -->P.G decrescente----------------> P.G não válida!

2º Par(X = 3 e y = 6)
P.A (3,6,9) --> P.A crescente #
P.G (3,6,12) -->P.G crescente #

Logo, os valores de X e y é:

Resposta : X = 3 e y = 6 #

É isso, tenha uma boa noite :)