Question

Calcule x:
a) 3^2x - 6.3^x - 27 = 0
b) 2^2x + 2.2^x - 8 = 0
c) 9^x - 36.3^x + 243 = 0
d) 4^3x-1 + 4^x = 4^2x

Answer 1

Ae,

use as propriedades da exponenciação:

$\large\boxed{\mathsf{(a^m)^n=a^{m\cdot n}}}\\\\ \Large\boxed{\mathsf{a^{m+n}=a^m\cdot a^n}}$

$\mathsf{3^{2x}-6\cdot3^x-27=0}\\ \mathsf{(3^x)^2-6\cdot3^x-27=0}\\\\ \mathsf{3^x=y}\\\\ \mathsf{(y)^2-6(y)-27=0}\\\\ \mathsf{y_1=3~~~e~~~y_2=9}\\\\ \mathsf{3^x=y}\\\\ \mathsf{3^x=3~~~~~~~3^x=9}\\ \mathsf{3^x=3^1~~~~~~3^x=3^2}\\ \mathsf{\not3^x=\not3^1~~~~\not3^x=\not3^2}\\\\ \mathsf{x_1=1~~~~~~~~x_2=2}\\\\\\ \Large\boxed{\mathsf{S=\{1,2\}}}$

............................

$\mathsf{2^{2x}+2\cdot2^x-8=0}\\ \mathsf{(2^x)^2+2\cdot2^x-8=0}\\\\ \mathsf{2^x=y}\\\\ \mathsf{y^2+2y-8=0}\\\\ \mathsf{y_1=2~~~y_2=-4~~(\notin~\mathbb{R})}\\\\ \mathsf{2^x=y}\\\\ \mathsf{2^x=2}\\ \mathsf{2^x=2^1}\\ \mathsf{\not2^x=\not2^1}\\\\ \mathsf{x=1}\\\\\\ \Large\boxed{\mathsf{S=\{1\}}}$

.............................

$\mathsf{9^x-36\cdot3^x+243=0}\\ \mathsf{(3^2)^x-36\cdot3^x+243=0}\\ \mathsf{(3^x)^2-36\cdot3^x+243=0}\\\\ \mathsf{3^x=y}\\\\ \mathsf{y^2-36y+243=0}\\\\ \mathsf{y_1=9~~~y_2=27}\\\\ \mathsf{3^x=y}\\\\ \mathsf{3^x=9}~~~~~~~\mathsf{3^x=27}\\ \mathsf{3^x=3^2}~~~~~~\mathsf{3^x=3^3}\\ \mathsf{\not3^x=\not3^2}~~~~\mathsf{\not3^x=\not3^3}\\\\ \mathsf{x_1=2}~~~~~~~\mathsf{x_2=3}\\\\\\\Large\boxed{\mathsf{S=\{2,3\}}}$

.............................

$\mathsf{4^{3x-1}+4^x=4^{2x}}\\ \mathsf{4^{3x}\cdot4^{-1}+4^x=(4^x)^2}\\\\ \mathsf{\dfrac{1}{4^1} \cdot(4^x)^3+4^x-(4^x)^2=0}\\\\ \mathsf{ \dfrac{1}{4} \cdot(4^x)^3-(4^x)^2+4^x=0}\\\\ \mathsf{4^x=y}\\\\ \mathsf{ \dfrac{1}{4}y^3-y^2+y =0~~(multiplique~por~4)}\\\\ \mathsf{y^3-4y^2+4y=0~~(y~em~evid\^encia)}\\\\ \mathsf{y(y^2-4y+4)=0}\\\\ \mathsf{y_1=0~~~~y_2=y_3=2}\\\\ \mathsf{4^x=y}$

$\mathsf{4^x=0~~(impossivel~em~\mathbb{R})~~~~~4^x=2}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{(2^2)^x=2}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{2^2^x=2^1}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{\not2^2^x=\not2^1}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{2x=1}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathsf{x= \dfrac{1}{2} }\\\\\\ \Large\boxed{\mathsf{S=\left\{ \dfrac{1}{2}\right\}}}$

Tenha ótimos estudos ;P