Question

Calcule (x+2y) DA onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x²

Answer 1

Primeiro, vamos definir os dois pontos de encontro das parábolas: (isolando uma das incógnitas) 

y = y 
2x² = 1 + x² 
x = 1 e x= -1 

Agora, podemos integrar (primeiro em y, com y indo de 2x² até 1+x²): 

∫∫(x+2y)*dy*dx 

= [∫(x*Y+Y²)*dx] 

= ∫x*(1+x²)+(1+x²)² dx - ∫x*2x²+(2x²)² dx 

= ∫(x + x³ + 1+ 2x² + x⁴)*dx - ∫(2*x³ + 4x⁴)*dx 

= ∫(x - x³ + 1+ 2x² - 3x⁴)*dx 

Por fim, é só integrar em x (com x indo de -1 a 1): 

= [X²/2 - X⁴/4 + X + 2X³/3 - 3X⁵/5] 

= 1 - (-1) + 2/3 - (-2/3) - (3/5) + (-3/5) 

= 2 + 4/3 - 6/5 

= 30/15 + 4*5/15 - 6*3/15 

= (30 + 20 - 18)/15 = 32/15

é bem simples :D espero ter ajudado