Question

Calcule Usando o método diferencial logaritmico: $y = \frac{x^{2} }{1 - x} \sqrt[3]{ \frac{1 - x}{ {(3 + x)}^{2} } }$ ​

Answer 1

Cálculo diferencial

Olá @PEDROABDALLAH0

O método de diferenciação logarítmica consiste em primeiro antes de começar a fazer a derivada d'uma função aplicar logaritmos em ambos membros de modo a facilitar a o nosso cálculo ao longo da derivação , visto que ela é geralmente aplicada para funções um pouco mais complexas .

Nós é dada a função :

$~~~~\boxed{\sf{ y~=~ \dfrac{x^2}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{1-x}{(3+x)^2}} } }$

Vamos aplicar logaritmos em ambos membros :

$~~~\sf{ \ln(y)~=~\ln\left[\dfrac{x^2}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{1-x}{(3+x)^2}}\right] }$

Com ajuda d'umas propriedades logaritmicas podemos deixar a função com uma cara mais amigável ( aplicando o logaritmo do produto , do quociente ) :

$~~~\sf{ \ln(y)~=~ \ln\left( \dfrac{x^2}{1-x}\right) + \ln\left[\dfrac{1-x}{(3+x)^2}\right]^{\frac{1}{3}} }$

$~~~\sf{ \ln(y)~=~\ln(x^2)-\ln(1-x) + \dfrac{1}{3}\ln\left[\dfrac{1-x}{(3+x)^2}\right] }$

$~~~\sf{\ln(y)~=~2\ln(x)-\ln(1-x)+\dfrac{1}{3}\ln(1-x)-\dfrac{2}{3}\ln(3+x) }$

$~~~\sf{\ln(y)~=~2\ln(x)-\dfrac{2}{3}\ln(1-x)-\dfrac{2}{3}\ln(3+x) }$

Veja Pedro que agora temos uma função composta por várias funções simples de derivar .

Vamos derivar ambos membros:

$~~~\sf{ \dfrac{y'}{y}~=~2*\dfrac{x'}{x}-\dfrac{2}{3}*\dfrac{(1-x)'}{(1-x)}-\dfrac{2}{3}\dfrac{(3+x)'}{(3+x)} }$

$~~~\sf{ \dfrac{y'}{y}~=~\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{3(1-x)}-\dfrac{2}{3(3+x)} }$

$~~~\sf{y'~=~y\left[\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{3(1-x)}-\dfrac{2}{3(3+x)}\right] }$

$~~~\sf{y'~=~\dfrac{x^2}{1-x}\sqrt[3]{\dfrac{1-x}{3+x}}\left[\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{3(1-x)}-\dfrac{2}{3(3+x)}\right] }$

Assim derivamos a nossa função.

This answer was elaborad by: Murrima, Joaquim Marcelo UEM(Moçambique)-DMI