Question

Calcule, usando o método da substituição simples, a área da região ao delimitada superiormente pela curva y = x³ √ 2 − x, inferiormente pelo eixo OX e pelas retas x = 0 e x = 2. Expresse o valor aproximado dessa área com duas casas decimais de precisão, considerando que a unidade de medida e o metro (m).

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral.

A área de uma região $R$ compreeendida entre duas funções $y=f(x)$ e $y=g(x)$, contínuas em um intervalo fechado $[a,~b]$ determinado pelas retas verticais $x=a$ e $x=b$ onde $f(x)>g(x)$ é calculada pela integral: $\displaystyle{\iint_R\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)}\,dy\,dx=\int_a^bf(x)-g(x)\,dx}$.

Considerando a função $g(x)=0$, a área da região compreendida entre estas funções é igual a área sob o gráfico de $f(x)$ no intervalo determinado, calculada pela integral: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx}$.

Sendo assim, devemos determinar a área da região limitada superiormente pela curva $y=x^3\cdot\sqrt{2-x}$, inferiormente pelo eixo $Ox$ e pelas retas verticais $x=0$ e $x=2$.

As retas verticais determinam o intervalo de integração $[0,~2]$. Logo, a área desta região será calculada pela integral:

$\displaystyle{\int_0^2x^3\cdot \sqrt{2-x}\,dx}$

Faça uma substituição $u=2-x$ e diferencie ambos os lados da equação, de modo a encontrar o diferencial $du$:

$(u)'=(2-x)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=-1\Rightarrow -du=dx$

Ao realizarmos esta substituição, devemos alterar também os intervalos de integração. Quando $x\rightarrow0,~u\rightarrow 2$ e quando $x\rightarrow2,~u\rightarrow 0$, logo teremos:

$\displaystyle{\int_2^0(2-u)^3\cdot \sqrt{u}\,(-du)}$

Expanda o binômio e aplique a propriedade $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx}$

$\displaystyle{\int_0^2(8-12u+6u^2-u^3)\cdot \sqrt{u}\,du}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação, lembrando que $\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle{\int_0^28u^{\frac{1}{2}}-12u^{\frac{3}{2}}+6u^{\frac{5}{2}}-u^{\frac{7}{2}}\,du}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int8u^{\frac{1}{2}}\,du-\int12u^{\frac{3}{2}}\,du+\int6u^{\frac{5}{2}}\,du-\int u^{\frac{7}{2}}\,du}~\biggr|_0^2$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{8\cdot\int u^{\frac{1}{2}}\,du-12\cdot\int u^{\frac{3}{2}}\,du+6\cdot\int u^{\frac{5}{2}}\,du-\int u^{\frac{7}{2}}\,du}~\biggr|_0^2$

Aplique a regra da potência

$8\cdot\dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-12\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+6\cdot \dfrac{u^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}- \dfrac{u^{\frac{7}{2}+1}}{\frac{7}{2}+1}~\biggr|_0^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores e calcule a fração de frações

$8\cdot\dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-12\cdot\dfrac{u^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+6\cdot \dfrac{u^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}- \dfrac{u^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}}~\biggr|_0^2\\\\\\ 8\cdot\dfrac{2u^{\frac{3}{2}}}{3}-12\cdot\dfrac{2u^{\frac{5}{2}}}{5}+6\cdot \dfrac{2u^{\frac{7}{2}}}{7}- \dfrac{2u^{\frac{9}{2}}}{9}~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$8\cdot\dfrac{2\cdot2^{\frac{3}{2}}}{3}-12\cdot\dfrac{2\cdot2^{\frac{5}{2}}}{5}+6\cdot \dfrac{2\cdot2^{\frac{7}{2}}}{7}- \dfrac{2\cdot2^{\frac{9}{2}}}{9}-\left(8\cdot\dfrac{2\cdot0^{\frac{3}{2}}}{3}-12\cdot\dfrac{2\cdot0^{\frac{5}{2}}}{5}+6\cdot \dfrac{2\cdot0^{\frac{7}{2}}}{7}- \dfrac{2\cdot0^{\frac{9}{2}}}{9}\right)$

Calcule as potências, multiplique e some os valores

$\dfrac{32\sqrt{2}}{3}-\dfrac{96\sqrt{2}}{5}+\dfrac{96\sqrt{2}}{7}- \dfrac{32\sqrt{2}}{9}\\\\\\ \dfrac{512\sqrt{2}}{315}~\bold{u.~a}$

Calculando uma aproximação para este valor e considerando o metro como unidade de medida, teremos:

$2.29~m^2~~\checkmark$