Question

calcule usando as propriedades: a)log2(8*4)= b)log2 (2⁵)=

assinale a alternativa que está correta:
a)log(a.b)=log a.log b
b)log(a+b)=log a +log b
c)log m.a=m log a
d)log am= log m.a
e)logma=m.log a

encontre a solução para os logaritmos:
a)log0,25 32=
b)log0,04 125=
c)log2 16=
d)log5 25=

resolva as equações logarítmica:
a)log⁴(5x-1)=2
b)log²(x²-2X-16)=3
c)log(x-2) 4=2
d)log(x-3)(x-1)=2​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1)

a)

$\sf log_{2}~(8\cdot4)=log_{2}~8+log_{2}~4$

$\sf log_{2}~(8\cdot4)=log_{2}~2^3+log_{2}~2^2$

$\sf log_{2}~(8\cdot4)=3\cdot log_{2}~2+2\cdot log_{2}~2$

$\sf log_{2}~(8\cdot4)=3\cdot1+2\cdot1$

$\sf log_{2}~(8\cdot4)=3+2$

$\sf \red{log_{2}~(8\cdot4)=5}$

b)

$\sf log_{2}~2^5=5\cdot log_{2}~2$

$\sf log_{2}~2^5=5\cdot1$

$\sf \red{log_{2}~2^5=5}$

2)

a) $\sf log~(a\cdot b)=log~a\cdot log~b$

=> Falso

Na verdade, $\sf log~(a\cdot b)=log~a+log~b$

b) $\sf log~(a+b)=log~a+log~b$

=> Falso

A alternativa correta é:

$\sf \red{log~a^m=m\cdot log~a}$

3)

a)

$\sf log_{0,25}~32=x$

$\sf 0,25^x=32$

$\sf \Big(\dfrac{25}{100}\Big)^x=32$

$\sf \Big(\dfrac{1}{4}\Big)^x=32$

$\sf (2^{-2})^x=2^5$

$\sf 2^{-2x}=2^5$

Igualando os expoentes:

$\sf -2x=5$

$\sf 2x=-5$

$\sf \red{x=\dfrac{-5}{2}}$

b)

$\sf log_{0,04}~125=x$

$\sf 0,04^x=125$

$\sf \Big(\dfrac{4}{100}\Big)^x=125$

$\sf \Big(\dfrac{1}{25}\Big)^x=125$

$\sf (5^{-2})^x=5^3$

$\sf 2^{-2x}=5^3$

Igualando os expoentes:

$\sf -2x=3$

$\sf 2x=-3$

$\sf \red{x=\dfrac{-3}{2}}$

c)

$\sf log_{2}~16=x$

$\sf 2^x=16$

$\sf 2^x=2^4$

Igualando os expoentes:

$\sf \red{x=4}$

d)

$\sf log_{5}~25=x$

$\sf 5^x=25$

$\sf 5^x=5^2$

Igualando os expoentes:

$\sf \red{x=2}$

4)

a)

$\sf log_{4}~(5x-1)=2$

=> Condição de existência

$\sf 5x-1 > 0$

$\sf 5x > 1$

$\sf x > \dfrac{1}{5}$

=> $\sf log_{4}~(5x-1)=2$

$\sf 5x-1=4^2$

$\sf 5x-1=16$

$\sf 5x=16+1$

$\sf 5x=17$

$\sf \red{x=\dfrac{17}{5}}$

O conjunto solução é $\sf S=\Big\{\dfrac{17}{5}\Big\}$

b)

$\sf log_{2}~(x^2-2x-16)=3$

=> Condição de existência

$\sf x^2-2x-16 > 0$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-16)$

$\sf \Delta=4+64$

$\sf \Delta=68$

$\sf x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{68}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm2\sqrt{17}}{2}$

$\sf x'=\dfrac{2+2\sqrt{17}}{2}~\Rightarrow~x'=1+\sqrt{17}~\approx5,12$

$\sf x"=\dfrac{2-2\sqrt{17}}{2}~\Rightarrow~x=1-\sqrt{17}~\approx-3,12$

Assim, $\sf x < -3,12~ou~x > 5,12$

=> $\sf log_{2}~(x^2-2x-16)=3$

$\sf x^2-2x-16=2^3$

$\sf x^2-2x-16=8$

$\sf x^2-2x-16-8=0$

$\sf x^2-2x-24=0$

$\sf \Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-24)$

$\sf \Delta=4+96$

$\sf \Delta=100$

$\sf x=\dfrac{-(-2)\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}=\dfrac{2\pm10}{2}$

$\sf x'=\dfrac{2+10}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{12}{2}~\Rightarrow~\red{x'=6}$

$\sf x"=\dfrac{2-10}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-8}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-4}$

Note que $\sf 6 > 5,12~e~-4 < -3,12$, logo 6 e -4 são soluções

O conjunto solução é $\sf S=\{-4,6\}$

c)

$\sf log_{x-2}~4=2$

=> Condição de existência

• $\sf x-2 > 0$

$\sf x > 2$

• $\sf x-2 \ne 1$

$\sf x \ne 1+2$

$\sf x \ne 3$

Assim, devemos ter $\sf x > 2~e~x \ne 3$

=> $\sf log_{x-2}~4=2$

$\sf (x-2)^2=4$

$\sf x-2=\pm\sqrt{4}$

$\sf x-2=\pm2$

• $\sf x-2=2$

$\sf x=2+2$

$\sf \red{x'=4}$

• $\sf x-2=-2$

$\sf x=-2+2$

$\sf x=0$ (não serve, pois não satisfaz a condição de existência)

O conjunto solução é $\sf S=\{4\}$

d)

$\sf log_{(x-3)}~(x-1)=2$

=> Condição de existência

• $\sf x-1 > 0$

$\sf x > 1$

• $\sf x-3 > 0$

$\sf x > 3$

• $\sf x-3 \ne 1$

$\sf x \ne 1+3$

$\sf x \ne 4$

Assim, devemos ter $\sf x > 3~e~x \ne 4$

=> $\sf log_{(x-3)}~(x-1)=2$

$\sf (x-3)^2=x-1$

$\sf x^2-6x+9=x-1$

$\sf x^2-6x-x+9+1=0$

$\sf x^2-7x+10=0$

$\sf \Delta=(-7)^2-4\cdot1\cdot10$

$\sf \Delta=49-40$

$\sf \Delta=9$

$\sf x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1}=\dfrac{7\pm3}{2}$

$\sf x'=\dfrac{7+3}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{10}{2}~\Rightarrow~\red{x'=5}$

$\sf x"=\dfrac{7-3}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~x"=2$ (não serve, pois não satisfaz a condição de existência)

O conjunto solução é $\sf S=\{5\}$