Question

Calcule usando a lei de gauss, o campo elétrico produzido por um plano infinito carregado com uma carga uniformemente distribuída de densidade ( em c/m^2) a uma distancia D deste plano.

Answer 1

Por simetria, dado que o plano é infinito, sabemos que o campo elétrico por ele gerado deve ser-lhe perpendicular. Admitindo que a densidade superficial de carga é $\sigma > 0$, o vetor deve apontar para longe do plano de cada um dos lados (na figura, a azul).

Consideremos então uma supefície de Gauss $S$ cilíndrica de altura $h$ e bases de área $\Delta S$ que corta o plano a metade da sua altura. Devido à direção e sentido do campo, apenas há fluxo através das bases do cilindro (a rosa, na figura, com os vetor normal a cada base indicado a preto), pelo que:

$\displaystyle \iint\limits_S \vec{E}\cdot\textrm{d}\vec{s} = 2E\iint_\limitsS\textrm{d}S = 2E\Delta S.$

Pela lei de Gauss, este integral deve ser igual à carga contida na superfície, que corresponde a um círculo de área $\Delta S$ (delimitado pela circunferência preta, na figura), a dividir pela permitividade do vácuo, $\varepsilon_0$. Portanto, a carga no interior da superfície é:

$Q_\textrm{int} = \sigma\Delta S.$

Igualando, obtemos então:

$2E\Delta S = \dfrac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_0} \implies E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}.$

Note que este resultado é independente da distância ao plano!