Question

Calcule uma p.g. crescente, de tal forma, sabendo-se que a soma do 1° com 3° vale 130 e a soma do 2° com o 4° vale 650.

Answer 1

PG : An = A1 * q^(n-1)
An → N - ésimo termo da PG;
A1 → Primeiro termo;
q →  Razão de crescimento / decrescimento;
n → Posição do termo;
^ → "Elevado a"...

A1 + A3 = 130
A2 + A4 = 650

Podemos reescrever os termos A2, A3 e A4 como :

A2 (n = 2) ⇒ A1 * q^(2-1) = A1 * q;

A3 (n = 3) ⇒ A1 * q^(3-1) = A1 * q²;

A4 (n = 4) ⇒ A1 * q^(4-1) = A1 * q³...


A1 + A1 * q² = 130 (colocando o A1 em evidência)
A1 * (1 + q²) = 130 ⇒ Primeira relação

A1 * q + A1 * q³ = 650 (colocando o A1 * q em evidência)
A1 * q * (1 + q²) = 650 ⇒ Segunda relação

Dividindo a segunda pela primeira :
A1 * q * (1 + q²) = 650
A1 *  (1 + q²) = 130 ⇒ Aqui, A1 e (1 + q²) são cortados !
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q = 650 / 130
q = 5 ⇒ Razão dessa PG crescente !

Logo, substituindo em qualquer relação :
A1 *  (1 + 5²) = 130 
A1 * (1 + 25) = 130
A1 * 26 = 130
A1 = 130 / 26
A1 = 5 ⇒ Primeiro termo !

(A1 = 5 e q = 5)

A2 = A1 * q
A2 = 5 * 5 → 25 (segundo termo)

A3 = A1 * q²
A3 = 5 * 5²
A3 = 5 * 25 → 125 (terceiro termo)

A4 = A1 * q³
A4 = 5 * 5³
A4 = 5 * 125 → 625 (quarto termo)