Question

Calcule todos os valores possíveis para a razão de uma progressão geométrica, sabendo que seu 1º termo é igual ao dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é igual a 112.

Answer 1

Os possíveis valores para a razão da Progressão Geométrica são: -8 e 7.

O termo geral de uma Progressão Geométrica é dado pela fórmula:

$an=a1.q^{n-1}$

sendo:

an = último termo

a1 = primeiro termo

q = razão

n = quantidade de termos.

De acordo com o enunciado, o primeiro termo da P.G. é igual ao dobro da razão, ou seja, a1 = 2q.

Além disso, temos que a1 + a2 = 112, ou seja,

a1 + a1.q = 112

Como a1 = 2q, então:

2q + 2q.q = 112

2q² + 2q - 112 = 0

q² + q - 56 = 0.

Temos aqui uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos utilizar a fórmula de Bhaskara:

Δ = 1² - 4.1.(-56)

Δ = 1 + 224

Δ = 225

$q=\frac{-1+-\sqrt{225}}{2}$

$q=\frac{-1+-15}{2}$

$q'=\frac{-1+15}{2}=7$

$q''=\frac{-1-15}{2}=-8$.