Question

Calcule todos os ângulos do triângulo formado pelos pontos A,B e D.
A (1,0,2) B (-1,-2,0) D (0,-2,-3)

Answer 1

Os ângulos do triângulo ADB são: 32,51°, 36,07° e 111,42°.

Ângulo A.

Para o ângulo A, precisamos dos vetores AB e AD.

Então,

AB = (-2,-2,-2)

AD = (-1,-2,-5)

Calculando o produto interno entre AB e AD:

<AB, AD> = (-2).(-1) + (-2).(-2) + (-2).(-5)

<AB,AD> = 2 + 4 + 10

<AB,AD> = 16.

As normas dos vetores AB e AD são:

||AB||² = (-2)² + (-2)² + (-2)²

||AB|| = 2√3

e

||AD||² = (-1)² + (-2)² + (-5)²

||AD|| = √30.

Portanto, o ângulo A é igual a:

$cos(A)=\frac{16}{2\sqrt{3}\sqrt{30}}$

$cos(A)=\frac{8}{3\sqrt{10}}$

A ≈ 32,51°.

Ângulo B.

Definindo os vetores BA e BD:

BA = (2,2,2)

BD = (1,0,-3).

Calculando o produto interno entre BA e BD:

<BA,BD> = 2.1 + 2.0 + 2.(-3)

<BA,BD> = 2 - 6

<BA,BD> = -4.

Calculando as normas dos vetores BA e BD:

||BA||² = 2² + 2² + 2²

||BA|| = 2√3

e

||BD||² = 1² + 0² + (-3)²

||BD|| = √10.

Portanto, o ângulo B é igual a:

$cos(B)=\frac{-4}{2\sqrt{3}\sqrt{10}}$

$cos(B)=\frac{-2}{\sqrt{30}}$

B ≈ 111,42°.

Ângulo D.

Definindo os vetores DA e DB:

DA = (1,2,5)

DB = (-1,0,3)

Calculando o produto interno entre DA e DB:

<DA,DB> = 1.(-1) + 2.0 + 5.3

<DA,DB> = -1 + 15

<DA,DB> = 14.

Calculando as normas dos vetores DA e DB:

||DA||² = 1² + 2² + 5²

||DA|| = √30

e

||DB||² = (-1)² + 0² + 3²

||DB|| = √10.

Portanto, o ângulo D é igual a:

$cos(D)=\frac{14}{\sqrt{30}\sqrt{10}}$

$cos(D)=\frac{14}{\sqrt{300}}$

D ≈ 36,07°.