Question

Calcule:
$\sqrt{-7+24i}$

Answer 1

Olá!
  
    As raízes são dadas pela expressão:
 
$z_k = |w|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\right),k=0,1,\dots,n$
  
    No nosso caso, as raízes serão duas, ou seja, serão os complexos  $z_0\;\text{e}\;z_1$  . Ainda,  temos  $w=-7+24i$  , então


$|w| = \sqrt{(-7)^2+(24)^2} = 25\\ \\ w = |w|(\cos\theta+i\sin\theta),\;\text{onde}\;\cos\theta=\frac{\Re(w)}{|w|} \;\text{e}\;\sin\theta=\frac{\Im(w)}{|w|}.\;\text{Da\'{\i},}\\ \\ w = 25\left(\cos\frac{-7}{25}+ i\sin\frac{24}{25}\right). \;\text{Ent\~ao}\\ \\ z_0 = 5\left(\cos\frac{\theta+2\cdot 0\pi}{2}+i\sin\frac{\theta+2\cdot 0\pi}{2}\right) = 5\left(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}\right)\\ \\ z_1 = 5\left(\cos\frac{\theta+2\cdot 1\pi}{2}+i\sin\frac{\theta+2\cdot 1\pi}{2}\right) =$

$5\left(\cos\frac{\theta+2\pi}{2}+i\sin\frac{\theta+2\pi}{2}\right)$

Onde  $\theta$  é o arco cujo cosseno vale -7/25 e o seno vale 24/25 (você pode usar as funções de arco-seno e arco-cosseno da calculadora científica para obter esses valores e concluir a resposta das raízes).


Bons estudos!