Question

Calcule $\lim_{x \to \infty} (sen \sqrt{x +1} - sen \sqrt{x} )$
$\lim_{x \to \ 0} \frac{\sqrt{cosx} - \sqrt[3]{cosx} }{sen^{2} x }$
$\lim_{x \to \ 0} \frac{tg(a+2x)- 2 tg (a + x) + tga}{x^{2} }$

Answer 1

Primeira questão:

$L = \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\, ( \sin \sqrt{ + 1} - \sin \sqrt x)$

Nesse limite  vamos usar a fórmula de transformação de somas em produtos:

$\sin A - \sin B = 2 \sin\left( \dfrac {A-B}2 \right) \cos \left( \dfrac{ A+B}2 \right)$

Com isso o limite torna-se:

( I ) $L = \displaystyle \lim_{x \to +\infty}\, 2 \sin \left( \dfrac{ \sqrt{x+1} - \sqrt x} 2\right)\cos \left( \dfrac{ \sqrt{x+1} + \sqrt x}2 \right)$

Observe que o cosseno é sempre um número entre zero e um. Ou seja, é uma função limitada. E observe que

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \dfrac{ \sqrt{x+1} - \sqrt x}2 = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \, \dfrac{1}{2(\sqrt{x+1} + \sqrt x)} = 0$

Assim, o seno no limite ( I ) tende a 0. Portanto, L = 0.

Segunda questão:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{ \sqrt{ \cos x} - \sqrt[3] { \cos x}} { \sin^2 x}$

Quando x tende a 0, cos x se aproxima de 1. Em particular é positvo. Assim usaremos a mudança de variável t⁶ = cos x ⇒ sen²x = 1 - t¹². Logo:

$L = \displaystyle \lim_{ t \to 1}\, \dfrac{ t^3 - t^2}{1 - t^{12}}$

Fatorando temos

t³-t² = t²(t - 1)

1 - t¹² = (1 - t)(1 + t + t² + ... + t¹¹) = -(t - 1)(1 + t + t² + ... + t¹¹)

Portanto:$L = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, - \dfrac{t^2(t-1)}{(t-1)(1 + t + t^2 + \cdots + t^{11})} = \lim_{x \to 1} \, \dfrac{-t^2}{1 + t + t^2 + \cdots + t^{11}} = -\dfrac 1{12}$

Assim o limite é -1/12.

Terceira questão:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\tan(a+2x) - 2 \tan(a+x) + \tan a}{x^2}$

Vamos começar desenvolvendo o numerador usando que tan(a) = sen(a)/cos(a). Precisaremos da fórmula de adição de arcos para o seno:

sen(A + B) = senA cosB + senB cosA

Com isso temos:

$\tan(a+2x) - \tan (a+x) = \dfrac{ \sin(a+2x)}{\cos(a+2x)} - \dfrac{ \sin(a+x)}{\cos(a+x)} \\[2ex]\phantom{\tan(a+2x) - \tan (a+x)} = \dfrac{ \sin(a+2x)\cos(a+x) - \sin(a+x)\cos(a+2x)}{\cos(a+x)\cos(a+2x)} \\[2ex]\phantom{\tan(a+2x) - \tan (a+x)} = \dfrac{ \sin x}{\cos(a+x)\cos(a+2x)} \\[2ex]$

Da mesma maneira obtemos:

$\tan(a+x) - \tan a = \dfrac{ \sin x}{\cos a\cos(a+x)} \\[2ex]$

Com isso:

$\tan(a+2x) - 2 \tan (a+x) + \tan a = \dfrac{\sin x}{\cos(a+2x) \cos(a+x)} - \dfrac{\sin x}{\cos(a+x) \cos a} \\[2ex]\phantom{\tan(a+2x) - 2 \tan (a+x) + \tan a } = \dfrac{\sin x\,( \cos a - \cos (a+2x))}{ \cos a \cos(a+x) \cos(a+2x)}$

Como vale que

cos(a) - cos(a+2x) = 2 sen(a+x) sen(x)

concluímos que

$\tan(a+2x) - 2 \tan (a+x) + \tan a = \dfrac{2\sin^2x \sin(a+x)}{ \cos a \cos(a+x) \cos(a+2x)}$

Usando o limite fundamental do seno concluímos que

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0}\, 2 \cdot \dfrac{\sin^2x}{x^2}\cdot \dfrac{\sin (a+x)}{\cos a \cos(a+x) \cos (a+ 2x)} = \dfrac{2 \sin a}{\cos^3 a}$

Ou seja, o limite é L = 2sen(a)/cos³(a) = 2 tan(a) sec²(a)

Repostas:

1. 0

2. -1/12

3. 2 tan(a) sec²(a)