Question

Calcule $\lim_{x \to \ 1} \frac{1-x^{2} }{sen\pix }$
$\lim_{x \to \ 0} x(2 + sen \frac{1}{x} )$
$\lim_{x \to \ -2} \frac{tg \pi x}{x +2}$

Answer 1

Sem L'Hopital, para calcular esses limites usaremos o limite fundamental do seno

( I )  $\displaystyle \lim_{x \to 0} \, \dfrac{\sin x}{x} = 1$

No uso desse limite é importante que o que está 'dentro' do seno se aproxime de zero. Assim, na segunda questão não podemos usá-lo, pois 1/x não tende a zero. Já na primeira talvez seja possível pois sen(πx) tende a 0 quando x tende a 1.

Outra observação é que sempre devemos ter a mesma função no denominador e no seno. Por exemplo:

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\, \dfrac { \sin 2x}{x} =\lim_{x \to 0} \, 2\cdot\dfrac{\sin 2x}{2x} = 2$

Para compreendermos o motivo do limite ser 2, basta observar que na última igualdade estamos fazendo uma substituição y = 2x . Ou seja

$\displaystyle \lim_{x\to 0} \, 2\cdot \dfrac{ \sin 2x}{2x}= \lim_{y \to 0} \, 2 \cdot \dfrac{ \sin y}y = 2 \cdot \lim_{ y \to 0}\, \dfrac{ \sin y}{y} = 2$

Outro resultado que usaremos é o seguinte. Se f(x) é limitada então

( II ) $\displaystyle \lim_{x\to a} \, g(x) = 0 \implies \lim_{x \to a} \, f(x)g(x) = 0$

Ou seja, mesmo que não exista o limite de f(x) podemos concluir que o limite de f(x)g(x) é zero. Mas isso não é sempre verdade quando g(x) não é limitada. Poderia haver uma indeterminação do tipo 0·∞.

Questão 1:

$L =\displaystyle \lim_{x \to 1} \, \dfrac{1-x^2}{ \sin \pi x }$

Vamos fazer a mudança de variável y = 1-x. Note que o numerador fica

1-x² = (1-x)(1+x) = y(2-y)

E o denominador

sen(πx) = sen(π - πy) = sen(πy)

Portanto reorganizando e usando ( I ) temos

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, \dfrac{y(2-y)}{\sin \pi y} = \lim_{y \to 0} \, \dfrac{1}\pi \cdot \dfrac{\pi y}{ \sin \pi y} \cdot (2-y) \implies \boxed{L =\dfrac 2 \pi}$

Questão 2:

$L = \displaystyle \lim_{x \to 0} \, x\left(2 + \sin \frac 1x \right)$

Observe que g(x) = x se aproxima de zero. Além disso, f(x) = 2 + sen(1/x) é uma função limitada, pois o seno é sempre um número no intervalo [-1, 1]. Logo, por ( II ) esse limite é zero.

Obs.: Para ficar claro que não é possível usar o limite fundamental aqui, observe que fazendo a mudança de variável y = 1/x teríamos:

$L = \displaystyle \lim_{y \to \pm\infty} \, \dfrac 2y + \dfrac{ \sin y}{y} = 0 + \lim_{y \to \pm \infty} \, \dfrac{ \sin y } y$

Notamos que o limite obtido é para y tendendo a infinito.

Questão 3:

$L = \displaystyle \lim_{x \to -2} \, \dfrac{ \tan \pi x}{ x+2}$

Começamos fazendo a substituição y = x+2. No denominador teremos y  e no numerador ficará

tan(πx) = tan(πy - 2π) = tan(πy)

Agora é só reorganizar os temos e usar ( I ):

$L=\displaystyle \lim_{y \to 0} \, \dfrac{ \tan \pi y}{y} = \lim_{ y\to 0}\, \dfrac{ \sin \pi \piy}y \cdot \dfrac \pi { \cos\pi y} = \pi$

Respostas:

1. 2/π

2. 0

3. π