Question

Calcule $\lim_{x \to \1} (1-x) tg\frac{\pi x }{2}$

Answer 1

Queremos calcular o limite

$L = \displaystyle \lim_{x \to 1} \, (1-x) \tan \dfrac{\pi x}{2}$

Que é uma indeterminação do tipo 0 × ∞. A ideia é usar o limite fundamental do seno:

$\displaystyle \lim _{x \to 0} \, \dfrac{ \sin x} x = 1$  ( I )

Para torná-lo evidente, primeiro observamos que tan(α) = sen(α)/cos(α). Além disso, em ( I ) temos x tendendo a 0. Assim, vamos fazer a mudança de variável y = 1 - x. Logo:

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \, y \, \tan\left( \dfrac{\pi - \pi y}2 \right) = \lim_{y \to 0} \, y \, \dfrac{ \sin ( \frac \pi 2 - \frac {\pi y} 2)}{ \cos( \frac \pi 2 - \frac{\pi y}2)}$

Como sen(π/2 - α) = cos(α) e cos(π/2 - α) =  sen(α) e usando ( I ) concluímos

$L = \displaystyle \lim_{y \to 0} \,\, \dfrac {y}{ \sin \frac{\pi y}2} \cdot \cos \frac{\pi y}2 = \lim_{y \to 0} \frac 2 \pi \cdot \dfrac {\frac {\pi y}{2}}{ \sin \frac{\pi y}2} \cdot \cos \frac{\pi y}2 \implies \boxed{ L = \dfrac 2 \pi}$

Resposta:

L = 2/π

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