Question

CALCULE




$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\int \frac{\ 3x+1}{x^{2}+3x-4}\,\ dx\end{gathered} }$

Answer 1

A integral indefinida é

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{3x+1}{x^2+3x-4}\, dx = \frac{1}{5}\left(11\ln\left|x+4\right| + 4\ln\left|x-1\right|\right) + C\end{gathered}$

Para resolver essa integral temos que utilizar o método das frações parciais, i.e vamos dividir esse quociente em dois somas com numeradoradores A e B, que são mais fáceis de integrar, neste caso ele terá a seguinte forma:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{P(x)}{\left(a_1x+b_1\right)\left(a_2x+b_2\right)}\, dx = \int \frac{A}{\left(a_1x+b_1\right)} + \frac{B}{\left(a_2x+b_2\right)}\,dx\end{gathered}$

Olhando apenas para o denominador podemos ver que ele pode ser escrito como:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}x^2+3x-4 = \left(x+4\right) \left(x-1\right)\end{gathered}$

Ou seja, nossa integral pode ser escrita como:

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{3x+1}{\left(x+4\right) \left(x-1\right)}\,dx\end{gathered}$

Porém ela pode simplificada na forma de fração parcial

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{3x+1}{\left(x+4\right) \left(x-1\right)}\,dx = \int \frac{A}{x+4}+ \frac{B}{x-1} \,dx\end{gathered}$

Para determinar A e B temos que resolver o sistema:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}3x+1 = A\left(x-1\right) + B\left(x+4\right)\\ \Downarrow\\3x+1 = Ax - A + Bx+4B\\\end{gathered}$

E então reorganizando os termos temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}3 = A+B\\ \\1 = -A+4B\end{cases}\end{gathered}$

Resolvendo os sistema chegamos a solução que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}A = \frac{11}{5}\\ \\B = \frac{4}{5}\end{cases}\end{gathered}$

e portanto, vamos ter que integrar:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{11}{5\left(x+4\right)}+ \frac{4}{5\left(x-1\right)} \,dx\end{gathered}$

Pela propriedade da soma de integrais e multiplificação por escalar podemos dizer que

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{11}{5}\int \frac{1}{x+4}\, dx+\frac{4}{5} \int \frac{1}{x-1} \,dx\end{gathered}$

Vamos tomar uma substituições simples, para mostrar que essa integrais são imediatas, vamos supor uma função f(x) = ax+b, e fazer a integral de 1/f(x), sendo assim:

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{ax+b}\,dx\end{gathered}$

Podemos fazer a substituição

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = ax + b \Rightarrow du = adx\end{gathered}$

Logo

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{a}\int \frac{1}{u}\,du\end{gathered}$

E aqui temos uma integral imediata, que é

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\left|x\right| + C\end{gathered}$

Portanto nossa integral fica

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{a}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{\ln\left|u\right|}{a} + C\end{gathered}$

Então voltando a variável original

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{a}\int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{\ln\left|ax+b\right|}{a} + C\end{gathered}$

Agora desmonstrado essa integral, vamos aplicar ela as duas integrais que tinhamos, ficamos com:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{11}{5}\int \frac{1}{x+4}\, dx+\frac{4}{5} \int \frac{1}{x-1} \,dx\\\Downarrow\\\frac{11\ln\left|x+4\right|}{5} + \frac{4\ln\left|x-1\right|}{5} + C\end{gathered}$

Portanto

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{3x+1}{x^2+3x-4}\, dx = \frac{1}{5}\left(11\ln\left|x+4\right| + 4\ln\left|x-1\right|\right) + C\end{gathered}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

Gráficos em anexo.

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