Question

Calcule:
$\displaystyle\int^{1}_{0} \sf e^{-x^2} dx$ com precisão de 3 cassas decimais.​

Answer 1

A integral definida com precisão de 3 casas decimais., tem como resposta: aproximadamente 0.748

Temos a seguinte integral:

$\Huge\boxed{\boxed{ \displaystyle\int^{1}_{0} \sf e^{-x^2} dx }}$

Vamos lá! Primeiramente é impossível achar a integral da função e na -x², em uma quantidade finita de números. Vamos ignorar os limites da integral fazendo por Taylor, veja fórmula de e na x:

$\large \sf e^x =\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{x^n}{n!} , logo\Rightarrow e^{-x^2 }=\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{(-x^2)^n}{n!}$

• Podemos escrever como:

$\Large\boxed{\sf \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{(-1)^n . x^{2n}}{n!}}$

• Veja que temos a integral da série, portanto, a série representa a função e na -x², para todo $\sf x \in \mathbb{R}$

$\Large \boxed{\begin{array}{c} \\\displaystyle\int \sf e^{-x^2} dx = \displaystyle\int\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{(-1)^n . x^{2n}}{n!}dx\\\\\Rightarrow \displaystyle\int \sf \Bigg[ 1-\dfrac{x^2}{1!} + \dfrac{x^4}{2!}- \dfrac{x^6}{3!} + \dfrac{x^8}{4!} ...\Bigg] dx\\\: \end{array}}$

Resolvendo a integral de cada um desses termos. Lembrando que ''C'' é a constante da integral, Veja abaixo:

$\Large \boxed{\begin{array}{c} \\\displaystyle\int \sf e^{-x^2}= C+x-\dfrac{x^3}{3.1!} + \dfrac{x^5}{5.2!}- \dfrac{x^7}{7.3!} + \dfrac{x^9}{9.4!}+ ...\\\\\displaystyle\int \sf e^{-x^2} dx = C+\displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}\dfrac{(-1)^n . x^{2n+1}}{(2n+1).n!}\\\: \end{array}}$

Para conferir, vamos fazer 3 primeiros termos

$\large\boxed{\sf \dfrac{(-1)^0.x^{2.0+!}}{(2.0+1).0!} = x} \boxed{\sf \dfrac{(-1)^1.x^{2.1+!}}{(2.1+1).1!} = -\dfrac{x^3}{3} }\boxed{\sf \dfrac{(-1)^2.x^{2.2+!}}{(2.2+1).2!} = \dfrac{x^5}{10} }$

Voltando a integral vamos substituir a série por alguns dos termos. Lembrando de que em uma integral definida não temos a constante.

• Perceba, Se substituirmos x por 0, vamos zerar tudo, por isso nem precisamos escrever. Vamos apenas substituir por 1

$\Large \boxed{\begin{array}{c} \\\displaystyle\int^{1}_{0} \sf e^{-x^2}dx= \Bigg[x-\dfrac{x^3}{3.1!} + \dfrac{x^5}{5.2!}- \dfrac{x^7}{7.3!} + \dfrac{x^9}{9.4!}+ ...\Bigg]\\\\\displaystyle\int^{1}_{0} \sf e^{-x^2}dx= 1-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{10}- \dfrac{1}{42} + \dfrac{1}{216}+\frac{1}{11.5!}+ ...\\\: \end{array}}$

Vale dizer que, não se aplicando ao nosso caso, mas quanto mais cálculo, mais preciso resultado. Agora veja bem, por exemplo, nesse caso vamos precisar dar uma olhada nos outros termos, e pela definição da questão temos uma precisão de 3 casas decimais, vamos chamar de D.

$\Huge \sf | D | < 0,001$

Isso significa que temos que pegar termos que satisfaçam essa definição. Surge a pergunta: 'Até quantos termos vamos precisar somar?'' . Vamos lembrar da Série alternada do teste de Leibniz, no qual temos uma série alternada e queremos fazer uma soma por aproximação parcial.

• Se consideramos os dois primeiros termos, não satisfazem a definição módulo, pois teriamos um valor que seria de ≠ de 0,001, fazendo de cara temos que somar 1-1/3+1/10-1/42+1/216, e o termo que sobra é aproximadamente 0,7475 e está atendendo a condição! Logo, temos como resposta:

$\Large\boxed{\boxed{ \displaystyle\int^{1}_{0} \sf e^{-x^2} dx \simeq 1-\frac{1}{3} +\frac{1}{10}-\frac{1}{42} +\frac{1}{216} }}$

• Simplificando mais ainda:

$\Large\boxed{\boxed{ \displaystyle\int^{1}_{0} \sf e^{-x^2} dx \simeq 0.748 }}$

$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

Para melhorar o entendimento, experimente ver os links abaixo, estão relacionados a séries Taylor, Maclaurin e integrais:

• https://brainly.com.br/tarefa/38605396

• https://brainly.com.br/tarefa/20568316

$\huge\text{\sf -----------\ \sf\small\LaTeX\ \,\huge-----------}$

Answer 2

Bom Dia Skoy!

• Inicialmente é possível visualizar nesta integral uma possível função erro, que é definida como:

$\Large {\text { \sf erf(x) = \cfrac{2}{\sqrt{\pi} } \displaystyle \int\limits^x_0 e^{-t^2} dx }}$

⇔ Para esclarecer o que é uma função erro, ela é uma função especial que é não elementar de um tipo chamado sigmóide. Que recebeu esse nome devido a sua forma de "S" no gráfico.

Sendo a função erro, muito utilizada em campos de estatística, probabilidade e engenharia.

• Retomando...

→ Mas, para isso, precisamos simplificar, o que ficaria:

$\Large {\text { \sf \cfrac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \cfrac{2}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \int\limits^x_0 e^{-t^2} dx = \displaystyle \int\limits^x_0 e^{-t^2} \, dx }}$

Que é bem similar à nossa integral.

É como se fosse um processo inverso.

Resultante em:

$\Large {\text { \sf \boxed { \sf \cfrac{\sqrt{\pi} }{2} \: erf (x) } }}$

❑ Já que podemos substituir, ficaria deste modo:

$\Large {\text { \sf \cfrac{\sqrt{\pi} }{2} \: erf (1) \approx 0,746.. }}$

∴ Tendo uma aproximação do resultado em 3 casas decimais!

Espero Ter Ajudado!