Question

Calcule senx e cosx sabendo que 5secx – 3tg2x = 1, e assinale a resposta correta.

Answer 1

Boa noite!!

Sabemos que:

$\tan^{2}x = \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}$

$\sec x = \frac{1}{\cos x}$

Substituindo:

$5.(\frac{1}{\cos x}) -3.(\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}) = 1 \\ ^{}\frac{5}{\cos x} - \frac{3.\sin^{2}x}{cos^{2}x} = 1 \\ Multiplicando a primeira fracao por \cos x: \\ ^{}\frac{5.\cos x}{\cos^{2}x} - \frac{3.\sin^{2}x}{cos^{2}x} = 1 \\ ^{} \frac{5.\cos x -3.\sin^{2}x}{\cos^{2} x} = 1 \\ 5.\cos x -3.\sin^{2}x = \cos^{2}x$

Lembrando que:
 $\sin^{2}x +\cos^{2}x = 1 \\ \sin^{2}x = 1 -\cos^{2}x$

Continuando:

$5.\cos x -3.\sin^{2}x = \cos^{2}x \\ 5.\cos x -3.(1 -\cos^{2}x) = \cos^{2}x \\ 3.\cos^{2}x -\cos^{2}x +5.\cos x -3 = 0 \\ 2.\cos^{2}x +5.\cos x -3 = 0$

Note que se trocarmos cos x por x, teremos uma equação do segundo grau, vamos resolve-lá:

$2x^{2} +5x -3 = 0 \\ Bhaskara: x = -b \± \frac{ \sqrt{b^{2} -4.a.c} }{2.a} \\ x = -5 \± \frac{ \sqrt{5^{2} -4.2.(-3)} }{2.2} \\ x = -5 \± \frac{ \sqrt{25 +24}}{4} \\ ^{} x' = -5 + \frac{7}{4} \\ ^{}x' = \frac{1}{2} \\\\ ^{}x'' = -5 - \frac{7}{4} = -3$

Descobrimos que cos x = 1/2. Pela tabela trigonométrica sabemos que esse valor corresponde ao ângulo de 60º. Logo o sin 60º será √3/2, também pela tabela.

Resposta final:

$\cos x = \frac{1}{2} \\ \sin x = \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Bons estudos!