Question

calcule ∫sen3x.√1-cosx dx precisando fazer o calculo me ajudem

Answer 1

∫sen(3x)  *√(1-cos(x)) dx

__________________________________________

sen(3x)=sen(x+2x) =sen(x)*cos(2x)+sen(2x)*cos(x)

=sen(x)*[cos²(x) -sen²(x)]+cos(x) *2sen(x)*cos(x)

=sen(x)*[cos²(x) -sen²(x)]+2*cos²(x) *sen(x)

=sen(x)*cos²(x)-sen³(x)-2*cos²(x) *sen(x)

=-sen³(x)+3*cos²(x) *sen(x)

=3*cos²(x) *sen(x) -sen³(x)

Substitua sen(3x) por 3*cos²(x) *sen(x) -sen³(x)

__________________________________________

∫[3*cos²(x) *sen(x) -sen³(x)] *√(1-cos(x)) dx

∫3*cos²(x) *sen(x)*√(1-cos(x)) -sen³(x)*√(1-cos(x)) dx

-∫ sen³(x)*√(1-cos(x)) dx + 3*∫cos²(x) *sen(x)*√(1-cos(x))  dx

Integrando a 1ª Parte

-∫ sen³(x)*√(1-cos(x)) dx  

-∫ sen(x) * sen²(x)*√(1-cos(x)) dx  

-∫ sen(x) * (1-cos²(x))*√(1-cos(x)) dx  

Substitua  u= cos(x)   ==>du=-sen(x) dx

-∫ sen(x) * (1-u²)*√(1-u) du/(-sen(x)  

∫  (1-u²)*√(1-u) du

Faça s= √(1-u) ==> ds = -1/2√(1-u)  du

∫  (1-u²)*√(1-u) * (-2√(1-u)) ds

u=1-s²

-2 ∫  (1-(1-s²)²)*s * s ds

-2 ∫  (1-(1-s²)²)*s² ds

-2 ∫  (1-1+2s²-s^4)*s² ds

-2 ∫  (2s²-s^4)*s² ds

-2 ∫  (2s^4+s^6) ds

-2*(2s^5/5 +s^7/7)  

sabemos que s=√(1-u) , Substituindo  

-2*(2*(√(1-u))^5/5 +(√(1-u))^7/7)

Sabemos que u =cos(x)

-2*(2*(√(1-cos(x)))^5/5 +(√(1-cos(x)))^7/7) -->1ª parte

Integrando a 2ª parte

3*∫cos²(x) *sen(x)*√(1-cos(x))  dx

Fazendo u= cos(x)  ==>du=-sen(x)

3*∫u² *sen(x)*√(1-u)  du/(-sen(x))

-3*∫u² * √(1-u)  du

Substitua s=√(1-u)   ==> ds= -1/2√(1-u) dx

s=√(1-u) ==> s²=1-u  ==>u=1-s²  

6 *∫u² * √(1-u)  √(1-u) ds

6 *∫u² * (1-u) ds

6 *∫(1-s²)² * s² ds

6 *∫(1-2s²+s^4) * s² ds

6 *∫(s²-2s^4+s^6)  ds

=6 *(s³-2s^5/5 +s^7/7)

Sabemos que s =√(1-u) substituindo

=6 *((√(1-u))³-2*(√(1-u))^5/5 +(√(1-u))^7/7)

Sabemos que u =cos(x)   substituindo  

=6 *((√(1-cos(x)))³-2*(√(1-cos(x)))^5/5 +(√(1-cos(x)))^7/7) --> 2ª parte

somando as duas partes teremos   a integral

∫sen(3x)  *√(1-cos(x)) dx

= -2*(2*(√(1-cos(x)))⁵/5 +(√(1-cos(x)))⁷/7) + 6 *((√(1-cos(x)))³-2*(√(1-cos(x)))⁵/5 +(√(1-cos(x)))⁷/7)   + constante