Question

Calcule sen2x sabendo-se que tg x + cotg x = 2:

A) 2/3

B) 3/2

C) 1/2

D) 1

E) 2​

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades sobre equações trigonométricas e arcos duplos.

Devemos encontrar o valor de $\sin(2x)$, sabendo que $\tan(x)+\cot(x)=2$.

Primeiro, lembre-se que $\cot(x)=\dfrac{1}{\tan(x)}$.

Logo, teremos:

$\tan(x) + \dfrac{1}{\tan(x)}=2$

Multiplique ambos os lados da equação por um fator $tan(x)$, tal que $tan(x)\neq0$.

$\tan^2(x)+1=2\tan(x)$

Subtraia $2\tan(x)$ em ambos os lados da equação.

$\tan^2(x)-2\tan(x)+1=0$

Fatore a expressão à esquerda da igualdade

$(\tan(x)-1)^2=0$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação

$tan(x)-1=0$

Some $1$ em ambos os lados da equação

$tan(x)=1$

Retirando a tangente inversa em ambos os lados da equação, obtemos:

$x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,~k\in\mathbb{Z}$

Então, teremos:

$\sin\left(2\cdot\left(\dfrac{\pi}{4}+k\pi\right)\right)$

Multiplique os valores

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)$

Sabendo que $\sin(\theta+2\pi)=\sin(\theta)$, facilmente obtemos:

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

Conhecendo os ângulos notáveis, temos que:

$\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra d).