Question

Calcule sen B, tg B, cotg B, sendo dado:
a) cos B = 1/2
b) cos B= 2/5
c) cos B= 0,96
d) cos B= 0,17​

Answer 1

Há diferentes formas de resolver o exercício, vou mostrar aqui utilizando triângulos retângulos e as relações de seno, cosseno e tangente associadas.

As relações são dadas por:

$sen(\theta)~=~\dfrac{Cateto~Oposto}{Hipotenusa}\\\\\\cos(\theta)~=~\dfrac{Cateto~Adjacente}{Hipotenusa}\\\\\\tg(\theta)~=~\dfrac{Cateto~Oposto}{Cateto~Adjacente}$

a)

Comparando o cosseno dado com a relação para o cosseno, teremos um triangulo retângulo (figura 1 anexada) com cateto adjacente valendo 1 e hipotenusa valendo 2.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, achamos o cateto oposto:

$(Cat.~Oposto)^2+(Cat.~Adjacente)^2~=~Hipotenusa^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~+~1^2~=~2^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~=~4-1\\\\\\\boxed{Cat.~Oposto~=~\sqrt{3}}$

Com isso, podemos agora calcular o que é pedido.

$\rightarrow~sen(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Hipotenusa}~=~\boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\\\\\\\rightarrow~tg(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Cat.~Adjacente}~=~\dfrac{\sqrt{3}}{1}~=~\boxed{~\sqrt{3}~}\\\\\\\rightarrow~cotg(B)~=~\dfrac{1}{tg(B)}~=~\dfrac{1}{\sqrt{3}}~=~\dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}~=~\boxed{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

b)

Comparando o cosseno dado com a relação para o cosseno, teremos um triangulo retângulo (figura 2 anexada) com cateto adjacente valendo 2 e hipotenusa valendo 5.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, achamos o cateto oposto:

$(Cat.~Oposto)^2+(Cat.~Adjacente)^2~=~Hipotenusa^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~+~2^2~=~5^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~=~25-4\\\\\\\boxed{Cat.~Oposto~=~\sqrt{21}}$

Com isso, podemos agora calcular o que é pedido.

$\rightarrow~sen(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Hipotenusa}~=~\boxed{\dfrac{\sqrt{21}}{5}}\\\\\\\rightarrow~tg(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Cat.~Adjacente}~=~\boxed{\dfrac{\sqrt{21}}{2}}\\\\\\\rightarrow~cotg(B)~=~\dfrac{1}{tg(B)}~=~\dfrac{1}{\frac{\sqrt{21}}{2}}~=~\dfrac{2}{\sqrt{21}}\cdot\dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}~=~\boxed{\dfrac{2\sqrt{21}}{21}}$

c)

Vamos primeiro reescrever o cosseno dado na sua forma fracionaria:

$0,96~=~\dfrac{96}{100}~=~\boxed{\dfrac{24}{25}}$

Comparando o cosseno dado com a relação para o cosseno, teremos um triangulo retângulo (figura 3 anexada) com cateto adjacente valendo 24 e hipotenusa valendo 25.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, achamos o cateto oposto:

$(Cat.~Oposto)^2+(Cat.~Adjacente)^2~=~Hipotenusa^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~+~24^2~=~25^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~=~625-576\\\\\\Cat.~Oposto~=~\sqrt{49}\\\\\\\boxed{Cat.~Oposto~=~7}$

Com isso, podemos agora calcular o que é pedido.

$\rightarrow~sen(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Hipotenusa}~=~\boxed{\dfrac{7}{25}}\\\\\\\rightarrow~tg(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Cat.~Adjacente}~=~\boxed{\dfrac{7}{24}}\\\\\\\rightarrow~cotg(B)~=~\dfrac{1}{tg(B)}~=~\dfrac{1}{\frac{\sqrt{7}}{24}}~=~\boxed{\dfrac{24}{7}}$

d)

Vamos primeiro reescrever o cosseno dado na sua forma fracionaria:

$0,17~=~\boxed{\dfrac{17}{100}}$

Comparando o cosseno dado com a relação para o cosseno, teremos um triangulo retângulo (figura 4 anexada) com cateto adjacente valendo 7 e hipotenusa valendo 100.

Utilizando o Teorema de Pitágoras, achamos o cateto oposto:

$(Cat.~Oposto)^2+(Cat.~Adjacente)^2~=~Hipotenusa^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~+~17^2~=~100^2\\\\\\(Cat.~Oposto)^2~=~10000-289\\\\\\\boxed{Cat.~Oposto~=~\sqrt{9711}}$

Com isso, podemos agora calcular o que é pedido.

$\rightarrow~sen(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Hipotenusa}~=~\boxed{\dfrac{\sqrt{9711}}{100}}\\\\\\\rightarrow~tg(B)~=~\dfrac{Cat.~Oposto}{Cat.~Adjacente}~=~\boxed{\dfrac{\sqrt{9711}}{17}}\\\\\\\rightarrow~cotg(B)~=~\dfrac{1}{tg(B)}~=~\dfrac{1}{\frac{\sqrt{9711}}{17}}~=~\dfrac{17}{\sqrt{9711}}\cdot\dfrac{\sqrt{9711}}{\sqrt{9711}}~=~\boxed{\dfrac{17\sqrt{9711}}{9711}}$