Question

calcule sen 2x e cos 2x sabendo que senx= 1/3 e que pi/2<x<pi​

Answer 1

Sabendo que :

$Cos(2x) = 1 - 2.sen^2(x)$

E pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que :

$Sen^2(2x) + Cos^2(2x) = 1$

A questão pede o Cos(2x) e Sen(2x) e informa :

O intervalo :  $\displaystyle \frac{\pi}{2}<x< \pi$  ( 2º quadrante)

e

$\displaystyle Seno(x) = \frac{1}{3}$

então :

1º )

$Cos(2x) = 1 - 2.sen^2(x)$

$\displaystyle Cos(2x) = 1 - 2.(\frac{1}{3})^2$

$\displaystyle Cos(2x) = 1 - \frac{2}{9} \to Cos(2x) = \frac{9-2}{9}$

$\fbox{\displaystyle Cos(2x) =\frac{7}{9} }$

2º )

$Sen^2(2x) + Cos^2(2x) = 1$

$\displaystyle Sen^2(2x) + (\frac{7}{9})^2= 1$

$\displaystyle Sen^2(2x) +\frac{49}{81}= 1 \to Sen^2(2x) = 1 - \frac{49}{81}$

$\displaystyle Sen^2(2x) = \frac{81-49}{81} \to Sen(2x) = \pm \sqrt{\frac{32}{81}}$

$\displaystyle Sen(2x) = - \frac{\sqrt{2^4.2}}{9}$

$\fbox{\displaystyle Sen(2x) = - \frac{4\sqrt{2}}{9} }$

Explicação do porquê é negativo.

O intervalo é o seguinte :

$\displaystyle \frac{\pi}{2}<x< \pi$

multiplica tudo por 2.

$\displaystyle \pi<2x< 2\pi$

2x está ou 3º ou 4º quadrante, e sabemos que o Seno é negativo nesses quadrantes