Question

Calcule. ∫ sen 2x cos² 2x dx

Answer 1

∫$sen(2x)cosx^{2} (2x)dx = -\frac{1}{6} cos^3(2x)+c$, iremos aplicar a integração por substituição onde $u=2x$, primeiro vamos resolver $u$

$u =2x\\du=2dx\\isolando dx ------> dx=\frac{1}{2}du$

substituindo temos que a integral ficou:

∫$sen(u)cos(u)^{2} \frac{1}{2} du$

Removendo a constante temos:

$\frac{1}{2}$∫$sen(u)cos(u)^{2} du$

Aplicando uma segunda substituição onde $v = cos(u)$

Derivando:

$\frac{dv}{du} = - sen(u)\\dv=-sen(u)du\\du=(-\frac{1}{sen(u)} )dv$

$sen (u)v^{2}(-\frac{1}{sen(u)} )dv\\simplificando\\\frac{1}{2}$∫$-v^2 dv$

aplicando a regra da potencia temos que:

$\frac{1}{2}(-\frac{cos^2^+^1(2x)}{2+1} ) \\Simplificando\\-\frac{1}{6}cos^3(2x)+c$

Espero ter ajudado!