Question

Calcule, se existir, o seguinte limite:

lim(x->0) de (1-cosx)/sinx

Answer 1

Resposta:

zero

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos reescrever o limite:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{sen x}$

Se substituirmos x por zero, verificamos que o limite é do tipo 0/0, ou seja, é indeterminado.

Dessa forma, precisamos de alguma maneira sair da indeterminação, assim sendo, multiplicaremos em cima e em baixo por 1 + cos x, daí:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{senx}.\frac{1+cosx}{1+cosx} =\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos^{2}x}{senx(1+cosx)}$

Pela identidade fundamental da trigonometria, temos que:

$sen^{2}x+cos^{2}x =1 => sen^{2}x = 1 - cos^{2} x$, daí:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos^{2}x}{sen x(1+cosx)} = \lim_{x \to\ 0} \frac{sen^{2} x}{sen x(1+cosx)} = \lim_{x \to \ 0} \frac{sen x}{1+cosx}$

Substituindo x por zero temos:

$\lim_{x \to \ 0} \frac{sen x}{1+cosx} = \frac{sen 0}{1 + cos 0} = \frac{0}{1+1} =0$

Outra maneira:

$\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{sen x} = \lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{x}.\frac{x}{senx} =\lim_{x \to\ 0} \frac{1-cos x}{x}.\lim_{x \to\ 0}\frac{x}{senx}$

Os dois limites são limites fundamentais da trigonometria, o primeiro é zero e o segundo é 1, o que implica em zero como resposta.

Bons estudos!!!