Question

Calcule
S= 1^2-2^2+3^-4^2+5^2-6^2+...99^2-100^2

Answer 1

Podemos ver que a soma é formada apenas pela subtração do quadrado de um número (k) pelo quadrado de seu sucsssor (k+1). Dessa maneira, analisando cada uma dessas parcelas de subtração separadamente: $k^2-(k+1)^2=k^2-(k^2+2k+1)=-2k-1=-[k+(k+1)]$ Dessa forma, cada uma das parcelas que descrevemos é igual à soma dos dois números multiplicados por -1. Isto é, podemos escrever a soma que queremos calcular como: $S=[-(1+2)]+[-(3+4)]+...+[-(99+100)]\\\\ S=-(1+2+3+4+...+99+100)\\\\ S=-\dfrac{(1+100)100}{2}=-101\cdot50\\\\\boxed{S=-5050}$

Answer 2

Explicação passo a passo:

Parte 1: Melhorando a Expressão Dada

$S = 1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + 5^{2} - 6^{2} +...+ 99^{2} - 100^{2}$

Note que podemos agrupar os termos, de modo que fiquem numa aparência de uma diferença de quadrado:

$S = (1^{2} - 2^{2}) + (3^{2} - 4^{2}) + (5^{2} - 6^{2}) +...+ (99^{2} - 100^{2})$ (i)

Podemos aplicar agora o seguinte produto notável:

$a^{2} -b^{2} = (a-b)(a+b)$

Fazendo aplicação dessa identidade na relação (i), vem:

$S = (1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + (5-6)(5+6) +...+ (99-100)(99+100)$

$S= (-1)(3) + (-1)(7) + (-1)(11)+...+ (-1)(199)$

Colocando o $(-1)$ em evidência, teremos:

$S= (-1)[3 + 7 + 11 + +...+ 199]$ (ii)

Veja que o problema ficou mais simples!  Dentro dos colchetes temos uma progressão aritmética (P.A) de razão 4, cujo o primeiro e último termo são 3 e 199, respectivamente.

Ora! Basta calcularmos a soma dos termos dessa PA, que nosso problema estára 99% concluído.

Parte 2: Calculando a Soma da P.A

Nossa P.A é: {3, 4, 11, ... , 199} de razão 4. Vamos calular o número de termos que tem essa P.A

Fórmula geral: $a_{n} = a_{1} + (n-1)r$

$a_{n} = 199\\a_{1}= 3\\r = 4$

Substituindo os valores na fórmula, encontraremos: $n= 50$   (que é exatamente o número de termos dessa P.A)

Agora, usaremos uma outra fórmula para calcularmos a soma dos termos de uma P.A:

$soma = \frac{(a_{1} + a_{n})n}{2}$

$soma = \frac{(3 + 199)50}{2} = 5050$

Portanto, a soma:  $3 + 7 + 11 +...+ 199$ vale 5050

Parte 3: Concluindo

Voltando a relação (ii), teremos;

$S= (-1)[5050] = -5050$

Logo:

$S = 1^{2} - 2^{2} + 3^{2} - 4^{2} + 5^{2} - 6^{2} +...+ 99^{2} - 100^{2} = -5050$