Question

calcule potência i^54

Answer 1

Resposta:

- 1

Explicação passo-a-passo:

${i}^{0} = 1 \\ {i}^{1} = i \\ {i}^{2} = - 1 \\ {i}^{3} = {i}^{2} \times i= - 1i \\ {i}^{4} ={i}^{2} \times {i}^{2} = - 1 \times - 1 =1 \\ . \\ . \\ .$

seguindo essa lógica, as potências de ( i ) sempre vão se repetir em grupos de quatro.

então só precisamos saber qual será o resto da divisão do expoente por 4.

$\frac{54}{4} = 13 \frac{2}{4}$

ou seja, resto 2.

então ( i ) elevado a 54 = ( i ) elevado a 2.

Bons estudos.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o valor do número complexo procurado é:

       $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = -1\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja o número complexo:

              $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = i^{54}\end{gathered}$

Para resolver esta questão devemos lembrar as seguintes propriedades da unidade imaginária "i":

              $\LARGE\begin{cases} i^{0} = 1\\i^{1} = i\\i^{2} = -1\\i^{3} = -i\end{cases}$

Se o número complexo dado pode se escrito como uma potência "P" de "i", ou seja:

                   $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = i^{P}\end{gathered}$

Então, podemos reduzir esta potência à menor potência possível de "i" igualando "P" ao resto da divisão de "P" por "4", ou seja:

                   $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = i^{r}\end{gathered}$

Para calcular este resto, devemos utilizar a seguinte fórmula:

        $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} r = P - 4\cdot\bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO:

A seguinte formula...

                       $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \bigg\lfloor\frac{P}{4}\bigg\rfloor\end{gathered}$

...representa o piso do quociente entre o valor de "P" e "4".

Desta forma, temos:

$\LARGE\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} z = i^{P - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{P}{4}\bigg\rfloor}\end{gathered} }$

Sendo:

                    $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} P = 54\end{gathered}$    

Substituindo o valor de "P" na equação "I", temos:

         $\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} z = i^{54 - 4\cdot\bigg\lfloor\dfrac{54}{4}\bigg\rfloor} \end{gathered} }$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{54 - 4\cdot \lfloor13,5\rfloor}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{54 - 4\cdot13}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{54 - 52}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = i^{2}\end{gathered}$

             $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} = -1\end{gathered}$

✅ Portanto, o valor do número complexo é:

        $\LARGE\displaystyle\begin{gathered} z = -1\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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