Question

calcule passo-a-passo a integral:

$\boxed{\int\limits x^2e^{-x} \, dx }$

Answer 1

Segue em anexo a resolução.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da integral

$\int x^2e^{-x} ~dx$, Para resolver a integral vamos recorrer ao método de integração por partes.

$\int u~dv ~=~u*v - \int v~du$

Então :

* Seja: $u~=~x^2~\to~du~=~2xdx$

$\iff ~ dv~=~e^{-x}dx~\to~\int dv~=~\int e^{-x} dx$

$\iff v~=-e^{-x}$ Substituindo podemos ter :

$\int x^2e^{-x} dx~=~x^2*(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})*2x dx~=~I$

$I~=~ -x^2e^{-x} + 2\underbrace{\int xe^{-x} dx}_{I_{1}}$

$I~=~ -x^2e^{-x} + 2I_{1}$, Veja que ao aplicar a integração por parte, caímos numa outra integral, que por sua vez o expoente do x desceu uma unidade, por tanto vamos aplicar novamente a integração por partes, para a integral que nomeiamos como I1 :

$I_{1}~=~ \int x*e^{-x} dx$

Seja: $u~=~ x ~\to~du~=~dx$

$dv~=~ e^{-x}dx~\to~ \int dv~=~\int e^{-x}dx$

$v~=~-e^{-x}$, então vamos ter :

$I_{1}~=~ x*(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})dx$

$I_{1}~=~ -x*e^{-x} + \int e^{-x} dx$

$I_{1}~=~ -x*e^{-x} - e^{-x} + c~,c \in \mathbb{R}$

_____________________________________________________

Substituindo vamos ter :

$\sf{ I~=~ -x^2e^{-x} + 2( -xe^{-x} - e^{-x}) }$

$\sf{ I~=~ -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} }$

$\sf{ I~=~ -e^{-x}( x^2 + 2x + 2) + k, k\in \mathbb{R} }$

Att: Joaquim Logarítmo...