Question

calcule p para que a funçåo f (x)={ p²/2-8} x² +3x -5 tenha a concavidade voltada para cima

Answer 1

Calcular $\mathtt{p}$ para que a função

$\mathtt{f(x)=\left(\dfrac{p^2}{2}-8\right)\!x^2+3x-5}$
 
tenha o gráfico com concavidade voltada para cima.


Para que isso aconteça, o coeficiente do termo de 2º grau deve ser positivo:

$\mathtt{\dfrac{p^2}{2}-8>0}\\\\\\ \mathtt{\dfrac{p^2-16}{2}>0}\\\\\\ \mathtt{p^2-16>0}\\\\ \mathtt{(p+4)(p-4)>0}$


Temos uma inequação-produto. Vamos avaliar os sinais dos fatores:

$\begin{array}{cc} \mathtt{(p+4)}~~&\underline{----}\underset{-4}{\bullet}\underline{++++++}\underset{4}{\bullet}\underline{++++}\\\\ \mathtt{(p-4)}~~&\underline{----}\underset{-4}{\bullet}\underline{------}\underset{4}{\bullet}\underline{++++}\\\\\\ \mathtt{(p+4)(p-4)}~~&\underline{++++}\underset{-4}{\bullet}\underline{------}\underset{4}{\bullet}\underline{++++} \end{array}$


Como queremos que o produto seja positivo, o intervalo de interesse é

$\mathtt{p<-4~~ou~~p>4.}$


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Bons estudos! :-)