Calcule 'p' e 'q' de modo que x² + y² + pxy-2qx-2qy+q² = 0 seja a equação de uma circuferência de raio igual a 5
Soluções para a tarefa
Resposta: p=0 e q=5
Equação da circunferencia: (x-a)² + (y-b)² = raio²
O ponto (a , b) é o centro da circunferencia
Desenvolvendo, fica:
(x-a).(x-a) + (y-b).(y-b) = raio²
x² - 2ax + a² + y² - 2ay + b² = raio²
Note, não há termo envolvendo "xy" no desenvolvimento, portanto podemos afirmar que "p" da equação dada vale 0
p = 0
Completar quadrados
(x²-2qx) + (y²-2qy) = - q²
(x²-2qx + q² - q²) + (y²-2qy + q² - q²) = -q²
(x²-2qx+q²) - q² + (y²-2qy+q²) - q² = -q²
(x - q)² - q² + (y - q)² - q² = -q²
(x - q)² + (y - q)² = -q² + q² + q²
(x - q)² + (y - q)² = q²
Por semelhança com a equação geral da reta, tiramos que a circunferencia dada no exercicio tem centro no ponto (q , q) e raio²=q²
Sabe-se que o raio da circunferencia vale 5, logo:
5² = q²
25 = q²
q = √25
q = 5 unidades