Question

Calcule os valores de x para os quais existam os
logaritmos:

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se as seguintes expressões logarítmicas, para as quais são pedidos os valores de "x" para que existam os respectivos logaritmos:

a) log₂ₓ₋₁ (√2)

Veja: a base de um logaritmo terá que ser MAIOR do que zero e DIFERENTE de "1". Já o logaritmando terá que ser MAIOR do que zero. Como já vimos que o logaritmando é igual a √2 então não vamos nos preocupar com ele, pois sendo igual a √2 já é maior do que zero.
Agora vamos para a base que é "2x-1". Para esta base teremos que impor que ela seja MAIOR do que zero e diferente de "1".
Assim, faremos:

2x - 1 > 0
2x > 1
x > 1/2  ----- esta é uma condição de existência para a base.

e

x ≠ 1 ------ esta é outra condição de existência para a base.

Assim, resumindo, teremos que "x", para a questão do item "a" terá que ser:

x > 1/2 e x ≠ 1 ------ Esta é a resposta para o item "a".

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução para existência da função logarítmica do item "a" da seguinte forma:

S = (1/2; 1) ∪ (1; +∞).


b) logₓ (1 - x/3)

b.i) Para o logaritmando (1 - x/3) deveremos impor que ele seja MAIOR do que zero. Logo:

1 - x/3 > 0
- x/3 > -1 ----- multiplicando ambos os membros por "-1", ficaremos:
x/3 < 1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
x < 3*1
x < 3  ----- Esta é a condição de existência para o logaritmando.

b.ii) Para a base, teremos que impor que a base "x" terá que ser também maior do que zero e diferente de "1".
Assim, teremos:

x > 0
e
x ≠ 1

b.iii) Agora veja que "x" terá que ser MENOR do que "3" por força da condição de existência do logaritmando e terá que ser MAIOR do que "0" e diferente de "1" por força da condição de existência da base.
Assim, o intervalo em que "x' poderá assumir valores, para o logaritmo da expressão "b" exista, será:

0 < x < 1 ou 1 < x < 3 ------ Esta é a resposta para o item "b".

Assim, se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução para a existência da expressão logarítmica do item "b" da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = (0; 1) ∪ (1; 3).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.