Question

Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio p(x) = 2x^3 + mx + nx - 1 por h(x) = 2x^2 - x - 1.
Obs: Por favor responda de forma que dê para compreender, pois, desejo aprender.

Answer 1

Tem um jeito fácil de fazer usando o teorema do resto. Coloca h(x) na forma fatorada de dois binômio e depois faz p(raiz) = 0.

2x²-x-1=0

Resolvendo você vai encontrar x' = -1/2 e x'' = 1. Colocando na forma fatorada fica: h(x) = (x+1/2)*(x-1)

p(-1/2)=2*(-1/2)³+m/4-n/2-1=0
-1/4-m/2-n/2-1=0
m/4-n/2=1+1/4
(m-2n)/4=5/4
m-2n=5

p(1)=2+m+n-1=0
m+n=-1

Agora você pode montar um sistema de equação:
m-2n=5
m+n=-1 ( multiplica por -1 e soma com a equação de cima para anular o m)
-----------
-3n=6
n=6/-3
n=-2

m+n=-1
m=-1-(-2)
m=-1+2
m=1

Answer 2

 2x³+mx²+nx-1 | 2x²-x-1
-2x³+x²+x           x
   \     mx²+x²+nx+x-1

Olhando para o termo independente você vê que a única maneira de anular é multiplicar por 1.

 2x³+mx²+nx-1 | 2x²-x-1
-2x³+x²+x           x+1
   \     mx²+x²+nx+x-1
         -2x²+x+1
        mx²+x²-2x²+nx+x+x

x²(m+1-2)+x(n+2)

Para anular, os coeficientes do x deve ser zero:

→ m+1-2 = 0 ⇒ m = 1
→ n+2 = 0 ⇒ n = -2