Question

Calcule os valores de a e b no polinômio P (x) = ax³ + 2x + b, sabendo que 2 é raíz de P (x) P (1) = 16

Answer 1

⠀⠀Os valores dos coeficientes ‘‘a’’ e ‘‘b’’ do polinômio P são $\small\sf a=-\,\frac{18}{7}$ e $\small\sf b=\frac{116}{7}$.

Atenção! Creio que no enunciado esteja faltando informações, portanto os resultados foram obtidos por dedução. Se puder, esclareça melhor a pergunta pelos comentários, obrigado.

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Considerações e resolução

⠀⠀Desejamos calcular os valores de ‘‘a’’ e ‘‘b’’ no polinômio P(x) = ax³ + 2x + b sabendo que 2 é uma de suas raízes. A raiz neste contexto nada mais é que o valor da variável que satisfaz uma igualdade, e como no caso desta questão as informações são vagas, podemos deduzir que as raízes do polinômio P(x) são aquelas que tornam verdade P(x) = 0. Logo deduzimos que para x = 2 temos que ter P(2) = 0:

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$\large\begin{array}{l}\sf P(x)=ax^3+2x+b\\\\\sf P(2)=a\cdot(2)^3+2\cdot(2)+b\\\\\sf0=a\cdot8+4+b\\\\\sf8a+b+4=0~~(i)\end{array}$

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⠀⠀Veja também que o enunciado diz, apesar de estar um pouco incompleto, que P(1) = 16, ou seja, para x = 1 o polinômio será igual a 16:

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$\large\begin{array}{l}\sf P(x)=ax^3+2x+b\\\\\sf P(1)=a\cdot(1)^3+2\cdot(1)+b\\\\\sf16=a\cdot1+2+b\\\\\sf a+b+2=16~~(ii)\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, temos duas equações, (i) e (ii). Para encontrar seus coeficientes ‘‘a’’ e ‘‘b’’ vamos ter que usar algum método de preferência que interaja com elas; estarei fazendo pelo método da subtração. O intuito será calcular a diferença (i) – (ii) de modo que ‘‘b’’ se anule para encontrarmos o valor de ‘‘a’’:

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                                   $\large\begin{array}{c}\Large-~~~\Large\begin{matrix}\sf8a+b+4=0\\\sf a+b+2=16\end{matrix}\\~~~~~~\Large\text{\sf-----------------------------------}\\\sf~~~~~~8a-a+b-b+4-2=0-16\\\\\sf~~~~~~7a+0+2=-\,16\\\\\sf~~~~~7a=-\,16-2\\\\\sf~~~~~~7a=-\,18\\\\~~~~~~\!\boxed{\sf a=-\,\dfrac{18}{7}}\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, com o valor de ‘‘a’’ em mãos podemos substituí-lo em alguma das equações de modo a encontrar o valor de ‘‘b’’:

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                                                 $\large\begin{array}{c}\sf a+b+2=16\\\\\sf-\,\dfrac{18}{7}+b+2=16\\\\\sf b=16-2+\dfrac{18}{7}\\\\\sf b=14+\dfrac{18}{7}\\\\\sf b=\dfrac{98}{7}+\dfrac{18}{7}\\\\\!\boxed{\sf b=\dfrac{116}{7}}\end{array}$

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⠀⠀Resposta: Portanto, podemos concluir que $\small\boldsymbol{\sf a=-\,\frac{18}{7}}$ e $\small\boldsymbol{\sf b=\frac{116}{7}}$, logo temos que $\small\boldsymbol{\sf P(x)=-\,\frac{18}{7}x^3+2x+\frac{116}{7}}$.

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⠀⠀Obs.: esses coeficientes são bem diferenciados e podem gerar incertezas, então na dúvida faça $\sf-\,\frac{18}{7}x^3+2x+\frac{116}{7}=0$ numa calculadora algébrica, assim você vai ver que uma de suas raízes é igual a 2, e se fizermos P(1) teremos exatamente:

$\small\sf-\,\frac{18}{7}\cdot(1)^3+2\cdot(1)+\frac{116}{7}=-\,\frac{18}{7}+2+\frac{116}{7}=-\,\frac{18}{7}+\frac{14}{7}+\frac{116}{7}=\frac{112}{7}=16$

⠀⠀Logo, as afirmações do enunciado em que ‘‘2 é raiz’’ e que ‘‘P(1) = 16’’ são verdade para o polinômio que determinamos e, portanto, os valores para ‘‘a’’ e ‘‘b’’ também são autênticos.

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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