Question

calcule os valores de a e b na equação (1 + i)^9 *(2- i)^3/ ( - 1 -i)^10 = a + bi

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para calcular os valores de "a" e "b" na equação abaixo:

[(1+i)⁹ * (2-i)³] / (-1-i)¹⁰ = a + bi ---- veja que poderemos reescrever a expressão da seguinte forma:

[(1+i)*(1+i)⁸ * (2-i)*(2-i)²] / [(-1-i)²]⁵ = a + bi
{(1+i)*[(1+i)²]⁴ * (2-i)*(2-i)²} / [(-1-i)²]⁵ = a + bi

Agora veja que (-1-i)² é a mesma coisa que (1+i)², pois o expoente é par. Logo:

{(1+i)*[(1+i)²]⁴ * (2-i)*(2-i)²} / [(1+i)²]⁵ = a + bi

Note que: (1+i)² = 2i  e se fosse (1-i)² = - 2i (tenha sempre isto na sua mente, que é importante). Assim, fazendo essas substituições, teremos:

{(1+i)*(2i)⁴ * (2-i)*(2-i)²} / (2i)⁵ = a + bi

Agora veja que: (2-i)² = 4 - 4i + i² --- como i² = -1, teremos:
4 - 4i - 1 ---> 3 - 4i. Assim, levando para a nossa expressão acima, teremos;

{(1+i)*(2i)⁴ * (2-i)*(3-4i)} / (2i)⁵ = a + bi---- desenvolvendo, teremos:
 
{(1+i)*16i⁴ * (6-11i+4i²)} / 32i⁵ = a + bi
 
{(16i⁴+16i⁵)*(6-11i+4i²)} / 32i⁵ = a + bi ---- como i² = -1, teremos:
 
{(16i⁴+16i⁵)*(6-11i+4*(-1)} / 32i⁵ = a + bi
{(16i⁴+16i⁵)*(6-11i-4)} / 32i⁵ = a + bi
{(16i⁴+16i⁵)*(2-11i)} / 32i⁵ = a + bi

Agora veja que:
i⁴ = i²*i²;
i⁵ = i²*i²*i¹ = i²*i²*i
Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

{(16i²*i²+16i²*i²*i)*(2-11i)} / 32i²*i²*i = a + bi --- como i² = -1, teremos:

{(16*(-1)*(-1)+16*(-1)*(-1)*i)*(2-11i)} / 32i*(-1)*(-1)*i = a + bi
{(16 + 16i)*(2-11i)} / 32i = a + bi ---- continuando o desenvolvimento, temos:

{32-144i-176i²) / 32i = a + bi ---- note (mais uma vez) que i² = -1. Assim:
{32 - 144i - 176*(-1)} / 32i = a + bi
(32 - 144i + 176} / 32i = a + bi
(208 - 144i) / 32i = a + bi ---- multiplicando em cruz, teremos:
208 - 144i = 32i*(a+bi)
208 - 144i = 32ai + 32bi² ----- i² = -1. Logo:
208 - 144i = 32ai + 32b*(-1)
208 - 144i = 32ai - 32b ----- agora vamos ordenar o 2º membro conforme o primeiro, ou seja, colocaremos a parte real em primeiro lugar e a parte imaginária logo a seguir. Assim:

208 - 144i = - 32b + 32ai ----- da comparação do 1º com o 2º membro, concluímos que:

208 = - 32b    . (I)
e
- 144 = 32a     . (II)

Vamos trabalhar com a expressão (I), que é esta:

208 = - 32b ---- ou, invertendo-se, teremos:
- 32b = 208 --- multiplicando-se por "-1", temos:
32b = - 208
b = - 208/32 ----- dividindo-se numerador e denominador por "16", teremos;
b = - 13/2 <--- Este deverá ser o valor de "b".

Vamos trabalhar com a expressão (II), que é esta:

- 144 = 32a --- ou, o que é a mesma coisa:
32a = - 144
a = - 144/32 ---- dividindo-se numerador e denominador por "16", teremos;
a = - 9/2 <--- Este deverá ser o valor de "a".

Assim, os valores de "a" e "b", conforme vimos aí em cima, serão:

"a" = - 9/2 e "b" = - 13/2 <--- Esta é a resposta.

Ou seja, o complexo z = a + bi será: -9/2 - 13i/2.

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.