Question

Calcule os valores de A e B, de modo que a igualdade se torne verdadeira :

$\sf{ \dfrac{1}{x^2 -1}~=~ \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} }$

ATT: $\sf{\maltese \mathbb{ JOVIAL } }$​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Fracção parcial...

Dada a seguinte igualdade :

$\sf{ \dfrac{1}{x^2 - 1}~=~ \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1} }$

fazendo o mínimo múltiplo comum :

$\iff \sf{ \dfrac{1}{x^2-1}~=~ \dfrac{A(x + 1) + B(x - 1) }{(x - 1)(x + 1)} }$

$\iff \sf{ 1 ~=~ Ax + A + Bx - B }$

$\iff \sf{ (A +B)x + A - B~=~ 1 }$

$\begin{cases} \sf{ A \cancel{+ B}~=~0~(I) } \\ \\ \sf{ A \cancel{- B}~=~1 ~(II)} \end{cases}$

$\iff \sf{ 2A~=~ 1 }$

$\iff \sf{ A~=~ \dfrac{1}{2} }$

pegando na equação (I), teremos que :

$\sf{ A - 1 ~=~ B }$

$\sf{ B~=~ \dfrac{1}{2} - 1 ~=~-\dfrac{1}{2} }$

$\iff \pink{ \boxed{ \sf{ A~=~ \dfrac{1}{2}~e~B~=~-\dfrac{1}{2} } } }$

Espero ter ajudado bastante!)

Answer 2

Multiplicando os dois lados da equação por (x + 1) . (x - 1) temos

1 = A(x + 1) + B(x - 1)

1 = Ax + Bx + A - B

Não há x do outro lado, então

A + B = 0

A - B = 1

Somando ambas:

A + A + B + (-B) = 0 + 1

2A = 1

A = 1/2

1/2 + B = 0

B = -1/2