Question

Calcule os valores de a, b e c de modo que a sequencia (-8 , a , b ,c -6) nessa ordem seja P.A?

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se os valores de "a", "b" e "c", de modo que a sequência (-8; a; b; c-6), nesta ordem, seja uma PA.

Veja, Hirza, se a sequência dada é uma PA, então a razão será constante e será encontrada pela subtração de cada termo antecedente do seu respectivo consequente. Então, para que a sequência dada seja uma PA deveremos ter que:

c-6 - b = b-a = a-(-8)
c - 6 - b = b - a = a + 8

Agora note: como cada "conjunto" de termos é igual, então  é indiferente que igualemos cada um desses "conjuntos" a um único. Então faremos o seguinte:

i) igualando "c-6-b" a "a+8" , teremos:

c - 6 - b = a + 8 ---- passando tudo o que tem incógnita para o 1º membro e o que não tem para o segundo, ficaremos assim:

c - b - a = 8 + 6
c - b - a = 14 ---- vamos apenas ordenar o 1º membro,  pois a ordem das parcelas não vai alterar a soma. Assim, poderemos fazer:

- a - b + c = 14     . (I)

ii) igualando "b-a" a "a+8", teremos:

b - a = a + 8 ----- passando "a" do 2º para o 1º membro, teremos:
b - a - a = 8
b - 2a = 8 ----- ordenando, teremos:
- 2a + b = 8 ---- como não há o termo "c", então vamos complementar com "0c". Assim, ficaremos com:

- 2a + b + 0c = 8     . (II)

iii) Finalmente, igualando "c-6-b" a "a-b" , teremos:

c - 6 - b = a - b ---- passando "a-b" para o 1º membro e "-6" para o 2º, teremos:

c - b - a + b = 6 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
c - a = 6 ----- colocando o 1º membro em ordem, teremos:
- a + c = 6  ------ como não há o termo "b" nesta expressão, então vamos complementar com "0b", ficando assim:

- a + 0b + c = 6  . (III)

iv) Agora note que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), e que são estas:

- a - b + c = 14        . (I)
- 2a + b + 0c = 8     . (II)       
- a + 0b + c = 6     . (III)

v) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (III) por "-1" e, em seguida somaremos, membro a membro, com a expressão (I), ficando assim:

- a - b + c = 14 --- [esta é a expressão (I) normal]
+a-0b - c = -6 ----- [esta é a expressão (III) multiplicada por "-1"]
--------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 - b + 0 = 8 ---- ou apenas:
- b = 8 ---- multiplicando ambos os membros por "-1", teremos:
b = - 8 <--- Este é o valor do termo "b".

Vamos na expressão (II) e, nela, substituiremos "b" por "-8".
A expressão (II) é esta:

- 2a + b + 0c = 8 ---- substituindo-se "b" por "-8", teremos:
- 2a + (-8) + 0 = 8
- 2a - 8 = 8
- 2a = 8 + 8
-2a = 16 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
2a = - 16
a = - 16/2
a = - 8 <--- Este é o valor do termo "a".

 Finalmente, vamos na expressão (III),que é esta:

- a + 0b + c = 6 ---- substituindo-se "a' por "-8", teremos:
-(-8) + 0 + c = 6
8 + c = 6
c = 6 - 8
c = - 2 <--- Este é o valor do termo "c".

vi) Assim, resumindo-se, temos que os valores de "a", "b" e "c" serão estes:

a = - 8; b = - 8; c = - 2  <--- Esta é a resposta.

Veja, a propósito, que: após substituirmos cada letra na sequência dada e que é esta:
 [- 8; a; b; c-6], teremos:

[-8; -8; -8; -2-6] = [-8; -8; -8; -8] <--- Pronto. Esta será a PA, que tem todos os seus termos iguais. Quando isso ocorre, chamamos de PA estacionária.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.