Question

Calcule os três ângulos internos de um triângulo ABC , sabendo que a=2, b=√6 e c=√3+1

Answer 1

Resposta:

Primeiro vamos descobrir o maior lado:

c=√3+1≅2,73

b=√6≅2,45

a=2

Construa um triângulo (ver em anexo)

Aplicando a Lei dos Cossenos:

(√6)²=2²+(√3+1)²-2.2.(√3+1).cosγ

6=4+3+2√3+1-4(√3+1)cosγ

4(√3+1)cosγ=2+2√3

4(√3+1)cosγ=2(√3+1)

cosγ=1/2

γ=60°

Aplicando a Lei dos senos:

√6/sen60°=2/senβ

√6/(√3/2)=2/senβ

√6.(2/√3)=2/senβ

√2=1/senβ

senβ=1/√2.(√2/√2)

senβ=√2/2

β=45°

A somatória dos ângulos internos de um triângulo é 180°

α+β+γ=180°

60°+45°+γ=180°

γ=180°-105°

γ=75°

Answer 2

Os três ângulos internos desse triângulo são:

45°, 60° e 75°

Podemos resolver utilizando a Lei dos Cossenos:

a² = b² + c² - 2.b.c.cos α

α é o ângulo oposto ao lado a.

Substituindo os valores do enunciado na fórmula, temos:

2² = √6² + (√3 + 1)² - 2.√6.(√3 + 1).cos α

4 = 6 + (3 + 2√3 + 1) - 2.(3√2 + √6).cos α

4 = 10 + 2√3 - (6√2 - 2√6).cos α

4 - 10 - 2√3 = - (6√2 - 2√6).cos α

- 6 - 2√3 = - (6√2 - 2√6).cos α

2.(- 3 - √3) = 2√2.(- 3 - √3).cos α

cos α =  2.(- 3 - √3)  

            2√2.(- 3 - √3)

cos α =  2  

            2√2

cos α = √2

              2

Então,

α = 45°

Agora, podemos utilizar a Lei dos Senos para achar o ângulo β.

  a    =   b  

sen α   sen β

    2     =  √6  

sen 45°   sen β

  2   = √6  

√2/2   sen β

2.sen β = √6.√2/2

2.sen β = 2√3/2

2.sen β = √3

sen β = √3

              2

Então,

β = 60°

Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. Logo:

α + β + c = 180°

45° + 60° + c = 180°

105° + c = 180°

c = 180° - 105°

c = 75°