Question

Calcule os seguites limites: lim x+1 /x²+1 (x→-∞) , lim x /-3-x (x→-3^+) , lim x²-x /x² (x→0^+) ME AJUDEM PFV!!!

Answer 1

❑Temos o seguinte limite:

$a) \: \lim_{x \rightarrow0} \frac{3^{x}-1}{x}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende só para observar uma casualidade:

$\frac{3 {}^{x} - 1 }{x} = \frac{3 {}^{0} - 1 }{0} = \frac{1 - 1}{0} = \boxed{\frac{0}{0}}$

Observe que nos deparamos com uma indeterminado do tipo $\frac{0}{0}$, para sumir com essa indeterminação usarei uma certa regrinha.

• Para sumir com a indeterminação no resultado do limite vamos usar a ❑ Regra de L'Hôpital ❑ que é dada pela derivação do numerador e denominador.

A definição formal da regra citada é dada por:

• ❑ f e g deriváveis em torno de p, respeitando-se as condições de existência e sendo $\lim_{x\rightarrow p}f(x) = \lim_{x\rightarrow p}g(x) = 0$ ou $\lim_{x\rightarrow p}f(x) = \lim_{x\rightarrow p}g(x) = \infty$, então deve se usar: $\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow p}\frac{\frac{d}{dx}[f(x)]}{\frac{d}{dx}[g(x)]}$

Aplicando essa imensa regra, teremos que:

$\lim_{x \rightarrow0} \frac{ \frac{d}{dx} [ 3^{x}-1] }{ \frac{d}{dx} [x]}$

Para essa derivação usaremos a derivação de uma constante e a derivação de uma função exponencial:

$\star \: \text{exponencial} : \\ \frac{d}{dx} a {}^{u} = a {}^{u} . ln(a) . \frac{d}{dx} [u] \\ \\ \star \: \text{constante} : \\ \: \: \: \: \: \: \: \frac{d}{dx} [C] = 0 \rightarrow C \text{(constante)}$

Aplicando essas regras:

$\Longrightarrow\lim_{x \rightarrow0} \frac{ \frac{d}{dx} [3 {}^{x} ] - 1}{ \frac{d}{dx} [x]} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow0} \frac{3 {}^{x}. ln(3). \frac{d}{dx} [x] }{1} \Rightarrow \\ \\ \Longrightarrow \lim_{x \rightarrow0} 3 {}^{x} . ln(3) .1 \Longleftrightarrow \boxed{\lim_{x \rightarrow0} 3 {}^{x} . ln(3)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Temos então que o limite equivalente é esse encontrado acima, agora que sumimos com a indeterminação, podemos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{x \rightarrow0}3 {}^{x} . ln(3) \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow0}3 {}^{0} . ln(3) \Rightarrow \\ \\ 1. ln(3) \Longleftrightarrow \boxed{ ln(3) }$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed { \boxed{a) \: \lim_{x \rightarrow0} \frac{3^{x}-1}{x} = \ln(3) }}$

❑Agora vamos para o item b), nesse item temos o seguinte limite:

$b)\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{x + 1}{x {}^{2} + 1 }$Como sempre, vamos substituir o valor a qual o "x" tende para fazer a verificação:

$\frac{x + 1}{x {}^{2} + 1} = \frac{ \infty + 1}{ \infty {}^{2} + 1 } = \boxed{\frac{ -\infty }{ -\infty } }$

Esse resultado também é uma indeterminação, só que do tipo $\frac{-\infty}{-\infty}$, para removê-la usaremos uma técnica que é dividir todos os elementos pelo termo de maior grau, ou seja, no nosso caso x².

$\Longrightarrow\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{x + 1}{x {}^{2} + 1 } \Longleftrightarrow\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{ \frac{x}{x {}^{2} }+ \frac{1}{x {}^{2} } }{ \frac{x { }^{2} }{x {}^{2}} + \frac{1}{x {}^{2} } }$

Agora lembre-se do seguinte Teorema:

• ❑Seja n um número inteiro natural, então: $\lim_{x \rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x^n}=0$

Aplicando o mesmo:

$\Longrightarrow\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{ \frac{x}{x {}^{2} }+ \frac{1}{x {}^{2} } }{ \frac{x { }^{2} }{x {}^{2}} + \frac{1}{x {}^{2} } } \Longleftrightarrow\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{ \cancel{\frac{1}{x} + \frac{1}{x {}^{2} }} {}^{0} }{1 + \cancel{ \frac{1}{x {}^{2}} {}^{0} }} \Rightarrow \\ \\ \Longrightarrow \lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{0}{1} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow -\infty }0 \Longleftrightarrow \boxed{0} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por fim podemos concluir que:

$\boxed{\boxed{b)\lim_{x \rightarrow -\infty } \frac{x + 1}{x {}^{2} + 1 } = 0 }}$

Espero ter ajudado