Question

Calcule os seguintes limites usando a
regra de L’Hôpital (indique os tipos das
indeterminações):

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\infty}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para calcularmos estes limites, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional:

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{e^{\frac{x}{10}}}{x^3}$

Primeiro, calculamos o limite da função quando $x=\infty$. Conhecendo o comportamento das funções, observa-se que elas crescem indefinidamente quanto próximos de infinito, logo teríamos a indeterminação $\dfrac{\infty}{\infty}$, assim podemos utilizar a regra.

Então, utilizamos a regra de l'Hôpital: elas no garante que o limite da função racional pode ser reescrito como:

$\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são funções contínuas e deriváveis em $x=c$ e $g'(x)\neq 0$.

Aplique a regra:

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{(e^{\frac{x}{10}})'}{(x^3)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da cadeia e da potência

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{\left({\dfrac{x}{10}}\right)'\cdot e^{\frac{x}{10}}}{3x^2}$

Calcule a derivada

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{e^{\frac{x}{10}}}{30x^2}$

Veja que neste caso, ao testarmos $x=0$, as funções continuam crescendo indefinidamente e chegaríamos novamente a indeterminação $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Aplique a regra novamente

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{(e^{\frac{x}{10}})'}{(30x^2)'}$

Calcule as derivadas

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{e^{\frac{x}{10}}}{600x}$

Mais uma vez, teremos a indeterminação indesejada. Aplicamos a regra novamente.

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{(e^{\frac{x}{10}})'}{(600x)'}$

Calcule as derivadas

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{e^{\frac{x}{10}}}{6000}$

Veja que agora, não podemos mais aplicar a regra, pois a derivada da função no denominador será igual a zero: veja as condições descritas ao início da explicação.

Então, visto que as funções são contínuas, calculamos o valor do limite:

$\underset{x\rightarrow\infty}{\lim}~\dfrac{e^{\frac{x}{10}}}{6000}=\infty$

Este é o resultado que procurávamos.