Question

Calcule os seguintes limites usando a
regra de L’Hôpital (indique os tipos das
indeterminações):

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{1}{4}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Devemos calcular o seguinte limite da função racional e indicar o tipo de indeterminação utilizando a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite:

$\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{1-\sin\theta}{1+\cos2\theta}$

Veja que ao testarmos $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ e relembrando de alguns resultados estudados no círculo trigonométrico, teremos:

$\dfrac{1-\sin\dfrac{\pi}{2}}{1+\cos2\cdot\dfrac{\pi}{2}}\\\\\\\ \dfrac{1-1}{1+(-1)}\\\\\\ \dfrac{0}{0}$

Esta é a indeterminação que encontramos neste caso.

Então, a Regra de l'Hôpital nos garante que, no limite de uma função racional:

$\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são funções contínuas e deriváveis em $x=c$, tal que $g'(x)\neq 0$.

Aplicando a regra, teremos:

$\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{(1-\sin\theta)'}{(1+\cos2\theta)'}$

Para calcularmos as derivadas, lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada da função seno é a função cosseno.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma:

$\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{(1)'-(\sin\theta)'}{(1)'+(\cos2\theta)'}$

Calcule a derivada da constante, da função seno e aplique a regra da cadeia

$\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{-\cos\theta}{(2\theta)'\cdot (-\sin2\theta)}$

Calcule a derivada da potência e multiplique os valores

$\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{-\cos\theta}{-2\sin2\theta}$

Multiplique a fração por $\dfrac{-1}{-1}$

$\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{\cos\theta}{2\sin2\theta}$

Aplique a propriedade da constante: $\underset{x\rightarrow c }{\lim}~a\cdot f(x)=a\cdot \underset{x\rightarrow c }{\lim}~ f(x)$

$\dfrac{1}{2}\cdot\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{\cos\theta}{\sin2\theta}$

Ainda de acordo com a Regra de l'Hôpital, teremos a indeterminação $\dfrac{0}{0}$, logo podemos aplicá-la novamente:

$\dfrac{1}{2}\cdot\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{(\cos\theta)'}{(\sin2\theta)'}$

Calcule as derivadas

$\dfrac{1}{2}\cdot\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{-\sin\theta}{2\cos2\theta}$

Então, este limite resulta em:

$\dfrac{1}{4}\cdot\underset{\theta\rightarrow\frac{\pi}{2}}{\lim}~\dfrac{-\sin\theta}{\cos2\theta}\\\\\\\\ \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{-\sin\dfrac{\pi}{2}}{\cos2\cdot\dfrac{\pi}{2}}$

Sabendo que $\sin\dfrac{\pi}{2}=1$ e $\cos\pi=-1$, temos

$\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{-1}{-1}$

Multiplique os valores

$\dfrac{1}{4}$

Este é o resultado deste limite.

Answer 2

Resposta:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{1-\sin x}{1+\cos (2x)} = \frac{1}{4}$

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos substituir os valores para ver qual o tipo de indeterminação.

Se fizermos a substituição veremos que:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{1-1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$

Temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos utilizar L'Hôpital que é:

$\lim_{x \to p } \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to p } \frac{f'(x)}{g'(x)}\, , g'(p)\ne 0$

Então vamos organizar:

$f(x) = 1-\sin x\\f'(x) = -\cos x\\\\g(x) = 1+\cos 2x\\g'(x) = -2sin(2x)$

Então aplicando L'Hôpital temos:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{-\cos x}{-2\sin(2x)}\\\\\frac{1}{2} \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{\cos x}{\sin(2x)}$

Substituindo temos:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} = \frac{0}{0}$

Aplicando L'Hôpital mais uma vez temos:

$f(x) = \cos x\\f'(x) = -\sin x\\\\g(x) = \sin(2x)\\g'(x) = 2\cos(2x)$

Então:

$\frac{1}{2} \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } -\frac{\sin(x)}{2\cos(2x)}$

Agora substituindo temos:

$\frac{1}{2} \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Portanto:

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{1-\sin x}{1+\cos (2x)} = \frac{1}{4}$

Qualquer dúvida respondo nos comentários!