Question

Calcule os seguintes limites.

Answer 1

• Todos os limites fornecidos pela questão resultarão em uma indeterminação do tipo 0/0, portanto não vamos substituir imediatamente o valor a qual o "x" tende.

• Item a):

$\red\bullet \: \: \sf \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ \sqrt{x} - 1}{x - 1} \: \: \red\bullet$

Para retirar essa indeterminação vamos multiplicar o denominador e o numerador pelo conjugado do numerador.

$\sf \frac{ \sqrt{x} - 1}{x - 1} . \frac{ \sqrt{x} + 1}{ \sqrt{x} + 1 } = \frac{ \sqrt{x}. \sqrt{x} + 1. \sqrt{x} - 1. \sqrt{x} - 1.1 }{(x - 1).( \sqrt{x} + 1)} = \\ \\ \sf \frac{ x + \cancel{\sqrt{x} - \sqrt{x}} - 1}{(x - 1).( \sqrt{x} + 1) } = \frac{ \cancel{x - 1}}{ \cancel{(x - 1)}.( \sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{ \sqrt{x} + 1 }$

Certamente sumimos com a indeterminação, logo podemos substituir o valor a qual o "x" tende e achar o valor desse limite.

$\sf \frac{1}{ \sqrt{x} + 1 } = \frac{1}{ \sqrt{1} + 1 } = \frac{1}{1 + 1} = \boxed{\sf \frac{1}{2} }$

• Item b):

$\blue\bullet \: \: \sf \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 1 - \sqrt{1 - x} }{x } \: \: \blue\bullet$

Do mesmo jeito que fizemos anteriormente faremos com esse limite, ou seja, multiplicar o numerador e denominador pelo conjugado do numerador.

$\sf \frac{1 - \sqrt{1 - x} }{x} . \frac{1 + \sqrt{1 - x} }{1 + \sqrt{1 - x} } = \frac{1.1 + 1. \sqrt{1 - x} - 1. \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x}. \sqrt{1 - x} }{x.(1 + \sqrt{1 - x)} } = \\ \\ \sf \frac{1 + \cancel{ \sqrt{1 - x} - \sqrt{1 - x} } -( 1 - x )}{x.(1 + \sqrt{1 - x}) } = \frac{1 - 1 + x}{x.(1 + \sqrt{1 - x}) } = \frac{ x}{x.(1 + \sqrt{1 - x} )} = \\ \\ \sf \frac{ \cancel{x}}{ \cancel{x}.(1 + \sqrt{1 - x} )} = \frac{ 1}{1 + \sqrt{1 - x} }$

Sumimos com a indeterminação, agora vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{ 1}{1 + \sqrt{1 - x} } = \frac{ 1}{1 + \sqrt{1 - 0} } = \frac{ 1}{1 + \sqrt{1} } = \frac{ 1}{2} = \boxed{ \sf \frac{1}{2}}$

• Item c):

$\green\bullet \: \: \sf \lim_{x \rightarrow 1} \frac{ \sqrt{x + 3} -2}{x - 1 } \: \: \green\bullet$

Mais uma vez vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador.

$\sf \frac{ \sqrt{x + 3} - 2 }{x - 1} . \frac{ \sqrt{x + 3} + 2 }{ \sqrt{x + 3} + 2} = \frac{ \sqrt{x + 3}. \sqrt{x + 3} + 2. \sqrt{x + 3} - 2. \sqrt{x + 3} - 2.2}{(x - 1).( \sqrt{x + 3} + 2 )} = \\ \\ \sf \frac{x + 3 \cancel{+ 2 \sqrt{x + 3} - 2 \sqrt{x + 3} }- 4 }{(x - 1).( \sqrt{x + 3} + 2) } = \frac{x + 3 - 4}{(x - 1).( \sqrt{x + 3} + 2)} = \frac{ \cancel{x - 1}}{ \cancel{(x - 1)}.( \sqrt{x + 3} + 2)} = \\ \\ \sf \frac{1}{ \sqrt{x + 3} + 2}$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{1}{ \sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{ \sqrt{1 + 3} + 2 } = \frac{1}{ \sqrt{4} + 2 } = \frac{1}{2 + 2} = \boxed{\sf \frac{1}{4} }$

Espero ter ajudado

Answer 2

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$\tt a)\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}\implies\lim_{x \to 1}\dfrac{\diagup\!\!\!\!\!\sqrt{x}-\diagup\!\!\!\!1}{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!(\sqrt{x}-\diagup\!\!\!\!\!1)\cdot(\sqrt{x}+1)}\implies \lim_{x \to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\dfrac{1}{2}}}}}\checkmark$

$\tt b)\\\displaystyle\sf\lim_{ x \to 0}\dfrac{(1-\sqrt{1-x})}{x}\cdot\dfrac{(1+\sqrt{1-x})}{(1+\sqrt{1-x})}\implies \lim_{x \to 0}\dfrac{1^2-(\sqrt{1-x})^2}{x\cdot(1+\sqrt{1-x})}\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{\diagdown\!\!\!1-\diagdown\!\!\!1+x}{x\cdot(1+\sqrt{1-x})}\implies\lim_{x \to 0}\dfrac{\diagup\!\!\!x}{\diagup\!\!\!x\cdot(1+\sqrt{1-x})}\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 0}\dfrac{1}{1+\sqrt{1-x}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{1-0}}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\lim_{ x \to 0}\dfrac{1-\sqrt{1-x}}{x}=\dfrac{1}{2}}}}}\checkmark$

$\tt c)\\\displaystyle\sf\lim_{ x \to 1}\dfrac{(\sqrt{x+3}-2)}{(x-1)}\cdot\dfrac{(\sqrt{x+3}+2)}{(\sqrt{x+3}+2)}\implies \lim_{x \to 1}\dfrac{(\sqrt{x+3})^2-2^2}{(x-1)\cdot(\sqrt{x+3}+2)}\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{x+3-4}{(x-1)\cdot(\sqrt{x+3}+2)}\implies\lim_{x \to 1}\dfrac{\diagdown\!\!\!\!\!(x-\diagdown\!\!\!\!\!1)}{\diagdown\!\!\!\!\!(x-\diagdown\!\!\!\!\!1)\cdot(\sqrt{x+3}+2)}\\\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{\sqrt{1+3}+2}=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{1}{2+2}$

$\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{4}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf\lim_{x \to 1}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\dfrac{1}{4}}}}}\checkmark$