Question

Calcule os seguintes limites

Answer 1

• Todos os limites que a questão nos fornece possuem indeterminação, então não vamos começar substituindo o valor a qual o "x" tende, pois sabemos que resultará em uma indeterminação.

$\orange{\boxed{\green{ \boxed{\red{ \boxed{ \sf a) \lim_{x \rightarrow1} \frac{x {}^{2} - 1}{ x- 1}}}}}}}$

No item a) para que a indeterminação suma, podemos deixar a expressão do numerador em sua forma fatorada, para isso basta lembrar do produto notável chamado de o quadrado da diferença.

$\star \: \: \sf a {}^{2} - b {}^{2} = (a + b).(a - b)$

Aplicando:

$\sf \frac{x {}^{2} - 1}{ x -1 } = \frac{(x + 1). \cancel{(x - 1)}}{ \cancel{x - 1}} = x + 1$

Certamente sumimos com a indeterminação, então agora podemos substituir o valor a qual o "x" tende.

$\sf x + 1 = 1 + 1 = \boxed{ \sf2}$

$\pink{\boxed{\blue{ \boxed{\purple{ \boxed{ \sf b) \lim_{x \rightarrow - 2} \frac{4 - x {}^{2} }{ 2 + x}}}}}}}$

Para o item b) vamos a mesma coisa do item a), pois trata-se do mesmo produto notável.

$\sf \frac{4 - x {}^{2} }{2 + x} = \frac{ \cancel{(2 + x)}.(2 - x)}{ \cancel{2 + x}} = 2 - x$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf 2 - x = 2 - ( - 2) = 2 + 2 = \boxed{\sf 4}$

$\orange{\boxed{\green{ \boxed{\red{ \boxed{ \sf c) \lim_{x \rightarrow \frac{3}{2} } \frac{4x {}^{2} - 9}{2x- 3}}}}}}}$

Aplicando o mesmo princípio dos itens anteriores:

$\sf \frac{4x {}^{2} - 9}{2x - 3} = \frac{ \cancel{(2x - 3)}.(2x + 3)}{ \cancel{2x - 3}} = 2x + 3$

Substituindo o valor a qual o "x" tende:

$\sf 2x + 3 = 2. \frac{3}{2} + 3 = 3 + 3 = \boxed{\sf6}$

$\pink{\boxed{\blue{ \boxed{\purple{ \boxed{ \sf d) \lim_{x \rightarrow 3} \frac{x {}^{2} - 4x + 3 }{ x {}^{2} - x - 6}}}}}}}$

A partir desse item a fatoração muda, pois será um pouco diferente.

• Fatorando o numerador:

$\sf x {}^{2} - 4x + 3 \\ \sf x {}^{2} + ( - 3 - 1)x + 3 \\ \sf x {}^{2} - 3x - x + 3 \\ \sf x.(x - 3) - 1.(x - 3) \\ \sf (x - 3).(x - 1)$

• Fatoração do denominador:

$\sf x {}^{2} - x - 6 \\ \sf x {}^{2} + (2 - 3) x- 6 \\ \sf x {}^{2} +2x - 3x - 6 \\ \sf x {}^{2} + 2x - 3x - 6 \\ \sf x.(x + 2) - 3.(x + 2) \\ \sf ( x + 2).(x - 3)$

Substituindo essas novas expressões:

$\sf \frac{ \cancel{(x - 3)}.(x - 1)}{(x + 2). \cancel{(x - 3)}} = \frac{x - 1}{x + 2}$

Agora podemos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{3 - 1}{3 + 2} = \boxed{\sf\frac{2}{5}}$

$\orange{\boxed{\green{ \boxed{\red{ \boxed{ \sf e) \lim_{x \rightarrow\frac{1}{2}} \frac{2x {}^{2} + 5x - 3}{ 2x {}^{2} - 5x + 2}}}}}}}$

Essa vai ser mais complicada de fatorar, mas nada que seja impossível.

• Fatoração do numerador:

$\sf 2x {}^{2} + 5x - 3 \\ \sf 2x {}^{2} + (6 - 1)x - 3 \\ \sf 2x {}^{2} + 6x - x - 3 \\ \sf 2x {}^{2} - x + 6x - 3 \\ \sf x.(2x - 1) + 3.(2x - 1) \\ \sf (2x - 1).(x + 3)$

• Fatoração do denominador:

$\sf 2x {}^{2} - 5x + 2 \\ \sf 2x {}^{2} + ( - 1 - 4)x + 2 \\ \sf 2x {}^{2} - x - 4x + 2 \\ \sf x.(2x - 1) - 2.(2x - 1) \\ \sf (x - 2).(2x - 1)$

Substituindo essas expressões:

$\sf \frac{ \cancel{(2x - 1)}.(x + 3)}{(x - 2). \cancel{(2x - 1)}} = \frac{x + 3}{x - 2}$

Agora é só substituir o valor a qual o "x" tende:

$\sf \frac{x + 3}{x - 2} = \frac{ \frac{1}{2} + 3}{ \frac{1}{2} - 2} = \frac{ \frac{1 + 6}{ \cancel2} }{ \frac{1 - 4}{ \cancel2} } = \frac{1 + 6}{1 - 4} = \frac{7}{ - 3} = \boxed{\sf - \frac{7}{3} }$

Espero ter ajudado