Question

Calcule os seguintes determinantes, aplicando o Teorema de Laplace:

A) 1 2 3
4 5 6
7 8 9

B) 0 1 1 3
2 0 0 2
0 0 0 1
0 1 0 0

Passo a passo pfv...

Answer 1

Os determinantes, aplicando o teorema de Laplace são: a) 0, b) -2.

O Teorema de Laplace nos diz que $A_{ij}=(-1)^{i+j}.D_{ij}$.

a) Para calcularmos o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$, vamos escolher a primeira linha.

Começando pelo primeiro elemento da primeira linha, devemos eliminar a linha e a coluna que está esse elemento. Assim, resta a matriz 2x2 $\left[\begin{array}{ccc}5&6\\8&9\end{array}\right]$.

Devemos multiplicar o elemento 1 pelo determinante da matriz 2x2 que foi formada.

Da mesma forma, com o elemento 2, obtemos a matriz 2x2 $\left[\begin{array}{ccc}4&6\\7&9\end{array}\right]$.

Já com o elemento 3, obtemos a matriz 2x2 $\left[\begin{array}{ccc}4&5\\7&8\end{array}\right]$.

Quando o elemento está em uma coluna ímpar, ele fica positivo. Quando está em uma coluna par, ele fica negativo.

Assim, podemos concluir que o determinante da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$ é:

det = 1(5.9 - 8.6) - 2(4.9 - 7.6) + 3(4.8 - 7.5)

det = 1.(-3) - 2.(-6) + 3.(-3)

det = -3 + 12 - 9

det = 0.

b) Na matriz 4x4 $\left[\begin{array}{cccc}0&1&1&3\\2&0&0&2\\0&0&0&1\\0&1&0&0\end{array}\right]$ utilizaremos o mesmo desenvolvimento.

Portanto, o seu determinante é:

det = 0.0 - 1.0 + 1.(-2) - 3.0

det = -2.