Question

Calcule os seguintes determinantes:
A)
8 6 1
0 -5 0
1 0 1

B) Determinante da matriz A = (aij)2X2, em que aij = -i2- j.
c) Determinante da matriz B = (bij)2X2, em que bij = ( i – j)2.
d) Determinante da matriz C = (cij)2X2, em que cij = i – j , se i for par e cij = i + j, se i for ímpar.
e) A= ( -2 3)
( 4 -5)

f) A = ( 1 )

Answer 1

Para que possamos calcular o determinante de uma matriz 3x3 devemos aplicar a lendária Regra de Sarrus ... rsrs. Essa regra consiste em 4 etapas. Sendo elas:

① etapa: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz. Para facilitar o entendimento, veja o exemplo a seguir;

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| \Longleftrightarrow\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\\7&8\end{array}\right|$

② etapa: somar os produtos dos termos da diagonal principal. Utilizando o mesmo exemplo anterior irei ilustrar a realização do 2º passo. Veja a seguir;

$\left|\begin{array}{ccc}\orange{1}&\red{2}&\blue{3}\\4&\orange{5}&\red{6}\\7&8&\orange{9{\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}1&2\\\blue{4}&5\\\red{7}&\blue{8}\end{array}\right| \Longleftrightarrow 1*5*9+2*6*7+3*4*8$

③ etapa: somar os produtos dos termos da diagonal secundária. Irei fazer a mesma coisa que venho fazendo ... veja no exemplo a seguir;

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&\orange{3}\\4&\orange{5}&\red{6}\\\orange{7}&\red{8}&\blue{9}\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}\red{1}&\blue{2}\\\blue{4}&5\\7&8\end{array}\right| \Longleftrightarrow 7*5*3 +8*6*1 + 9*4*2$

④ etapa: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária. Agora irei simplesmente subtrair a diagonal principal com a diagonal secundária. ficando assim:

$\begin{array}{lr} \sf 1*5*9+2*6*7+3*4*8 - (7*5*3+8*6*1+9*4*2)\\\\= \underline{\boxed{\red{0}}} \end{array}$

Tendo isso em mente iremos agora resolver o item a. Leia abaixo.

$\sf a)\left|\begin{array}{ccc}8&6&1\\0&-5&0\\1&0&1\end{array}\right|$

$\sf \left|\begin{array}{ccc}8&6&1\\0&-5&0\\1&0&1\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}8&6\\0&-5\\1&0\end{array}\right|$

DP = 8*(-5)*1+6*0*1+1*0*0

DS = 1*(-5)*1+0*0*8+1*0*6

DP - DS = 8*(-5)*1+6*0*1+1*0*0 - ( 1*(-5)*1+0*0*8+1*0*6 )

DP - DS = $\underline{\boxed{\red{\sf -35}}}$

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Para que possamos calcular o item b devemos primeiramente criar uma matriz genérica 2x2 de A seguindo a lei " -i² - j ". Vamos lá!

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$

Agora devemos calcular cada um dos termos da matriz que criamos, lembrando que cada elemento aij dessa matriz é calculado pela lei " -i² - j ".

$\large\begin{array}{lr} \sf a11 = -i^{2} -j = -1^{2} - 1= \underline{\boxed{\red{\sf -2}}}\\\\\sf a21 = -i^{2} -j = -2^{2} - 1= \underline{\boxed{\red{\sf -5}}}\\\\\sf a12 = -i^{2} -j = -1^{2} - 2= \underline{\boxed{\red{\sf -3}}}\\\\\sf a22 = -i^{2} -j = -2^{2} - 2= \underline{\boxed{\red{\sf -6}}}\end{array}$

Com isso podemos criar a matriz A2x2 e calcular seu determinante.

$\large\sf \left|\begin{array}{ccc}-2&-3\\-5&-6\end{array}\right|$

-2*-6 - ((-5)*-3)

$= \underline{\boxed{\red{\sf -3}}}$

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Para que possamos calcular o item c devemos primeiramente criar uma matriz genérica 2x2 de B seguindo a lei " ( i - j )2 ". Vamos lá!

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$

Agora devemos calcular cada um dos termos da matriz que criamos, lembrando que cada elemento bij dessa matriz é calculado pela lei "( i – j)2  ".

$\large\begin{array}{lr} \sf a11 = ( i-j)2 = (1-1)2= \underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\\\\\sf a21 = ( i-j)2 = (2-1)2= \underline{\boxed{\red{\sf 2}}}\\\\\sf a12 = ( i-j)2 = (1-2)2= \underline{\boxed{\red{\sf -2}}}\\\\\sf a22 = ( i-j)2 = (2-2)2= \underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\end{array}$

Com isso podemos criar a matriz B2x2 e calcular seu determinante.

$\large\sf \left|\begin{array}{ccc}0&-2\\2&0\end{array}\right|$

0*0 - ( -2*2 )

$= \underline{\boxed{\red{\sf 4}}}$

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Para que possamos calcular o item d devemos primeiramente criar uma matriz genérica 2x2 de C seguindo a lei " i-j " se o i for um número par e se i for um número impar devemos usar a lei " i+j " . Vamos lá!

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$

Agora devemos calcular cada um dos termos da matriz que criamos.

$\large\begin{array}{lr} \sf a11 = i\pm j \rightarrow (par/ impar)= 1+1= \underline{\boxed{\red{\sf 2}}}\\\\\sf a21 = i\pm j \rightarrow (par/ impar)= 2-1= \underline{\boxed{\red{\sf 1}}}\\\\\sf a12 = i\pm j \rightarrow (par/ impar)= 1+2= \underline{\boxed{\red{\sf 3}}}\\\\\sf a22 = i\pm j \rightarrow (par/ impar)= 2-2= \underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\end{array}$

Com isso podemos criar a matriz B2x2 e calcular seu determinante.

$\large\sf \left|\begin{array}{ccc}2&3\\1&0\end{array}\right|$

2*0 - ( 3*1 )

$= \underline{\boxed{\red{\sf -3}}}$

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Item e)

$\large\sf A=\left|\begin{array}{ccc}-2&3\\4&-5\end{array}\right|$

-2*-5 -( 4*3 )

$= \underline{\boxed{\red{ \sf -2}}}$

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Item f)

A = ( 1 ) = 1

Espero ter ajudado.

Bons estudos.

• Att. FireClassis.